專(zhuān)題七數(shù)學(xué)思想方法第一講函數(shù)與方程思想一、選擇題1已知向量a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，則實(shí)數(shù)等于 ()A1或2 B2或 C2 D0解析：ab(36,21)，ab(36，2)，若(ab)(ab)，則(36)·(36)(21)(2)0，解得2或答案：B2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2.若對(duì)任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ()A，) B2，)C(0,2 D，1，答案：A3f(x)是定義在(0，)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf(x)f(x)0.對(duì)任意正數(shù)a、b，若a<b，則必有 ()Aaf(a)f(b) Bbf(b)f(a)Caf(b)bf(a) Dbf(a)af(b)解析：xf(x)f(x)0，即xf(x)0，xf(x)是減函數(shù)又a<b，af(a)bf(b)又b>a>0，f(x)0，bf(a)af(a)且bf(b)af(b)，bf(a)af(a)bf(b)af(b)，bf(a)af(b)答案：C4f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，f(2)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A2 B3 C4 D5解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.由f(2)0，得f(2)0.又f(x)的周期為3，f(1)0，f(3)0.又ffff，f0.故選D.答案：D5已知對(duì)于任意的a1,1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是 ()A1<x<3 Bx<1或x>3C1<x<2 Dx<2或x>3解析：將f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)(x2)ax24x4.當(dāng)a1,1時(shí)恒有g(shù)(a)>0，只需滿(mǎn)足條件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空題6已知不等式(xy)9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)解析：只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1a·aa12a21，等號(hào)成立僅當(dāng)a·即可，所以()2219，即()2280求得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：47若關(guān)于x的方程(22|x2|)22a有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有實(shí)根，只需2a是f(x)的值域內(nèi)的值f(x)的值域?yàn)?,4)1a2<4，1a<2.答案：1,2)8已知函數(shù)f(x)，aR，若方程f2(x)f(x)0共有7個(gè)實(shí)數(shù)根，則a_.解析：設(shè)yt2t，tf(x)作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由t2t0知t0，或t1，當(dāng)t0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)t1時(shí)，要使此時(shí)方程有5個(gè)不同實(shí)根，則a1.答案：19若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×n3×nn(其中nN*)，且該數(shù)列中最大的項(xiàng)為am，則m_.解析：令xn，則0<x構(gòu)造f(x)x33x2x，xf(x)8x26x1令f(x)0，故x1，x2.f(x)在上為增函數(shù)，f(x)在上為減函數(shù)f(x)maxf即當(dāng)x時(shí)，f(x)最大，n2時(shí)，a2最大m2.答案：2三、解答題10設(shè)P是橢圓y21(a>1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值解：依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x，y)，則|PQ|.又因?yàn)镼在橢圓上，所以x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因?yàn)閨y|1，a>1，若a，則1，當(dāng)y時(shí)，|PQ|取最大值；若1<a<，則當(dāng)y1時(shí)，|PQ|取最大值2，綜上，當(dāng)a時(shí)，|PQ|最大值為；當(dāng)1<a<時(shí)，|PQ|最大值為2.11已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x1)f(x)1，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x1)f(x)3，且滿(mǎn)足f(1)f(2)5.(1)求證：f(2n1)(nN*)是等差數(shù)列；(2)求f(x)的解析式(1)證明：由題意得，兩式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差數(shù)列即f(2n1)(nN*)是等差數(shù)列(2)解：由題意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)×42(2n1)，因此當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x)2x.又因?yàn)楫?dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x)2x1.綜上，f(x).12某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年度進(jìn)行一系列的促銷(xiāo)活動(dòng)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足：3x與t1成反比例如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件已知2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投資32萬(wàn)元，當(dāng)年每件化妝品的零售價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷(xiāo)量相等(1)將2010年的年利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該企業(yè)2010年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)收入生產(chǎn)成本促銷(xiāo)費(fèi))解：(1)由題意，得3x，將t0，x1代入，得k2.x3.由題意，知每件零售價(jià)為·.年利潤(rùn)yx(332x)t16xt16t50(t0)(2)y5050242(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)， 即t7時(shí)，ymax42，當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定為7萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大5用心 愛(ài)心 專(zhuān)心