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1、 -84 - 實(shí)驗(yàn)六楊氏模量測定 1拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量 、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1 ?掌握用光杠桿測量微小長度的原理和方法，測量金屬絲的楊氏模量。 2 ?訓(xùn)練正確調(diào)整測量系統(tǒng)的能力。 3 ?學(xué)習(xí)一種處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法 一一逐差法。 、實(shí)驗(yàn)原理 1. 楊氏模量 固體在外力作用下都會(huì)發(fā)生形變，同外力與形變相關(guān)的兩個(gè)物理量應(yīng)力與應(yīng)變之間 的關(guān)系一般較為復(fù)雜。由胡克定律可知，在彈性限度內(nèi)，鋼絲的應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比 例系數(shù)Y稱為楊氏模量；楊氏模量描述材料抵抗彈性形變能力的大小，與材料的結(jié)構(gòu)、 化學(xué)成分及制造方法有關(guān)。楊氏模量是工程技術(shù)中常用的力學(xué)參數(shù)。設(shè)有一根長為 L ,

2、 橫截面積為S的鋼絲，在軸向力F的作用下，形變是軸向伸縮， 且為△ L,在彈性限度內(nèi)， 脅強(qiáng)F S和脅變AL L成正比，既 (1) F AL =Y - S L 式中比例系數(shù) Y稱為該固體的楊氏模量。在國際單位中，它的單位是牛頓 /米2，記為 Nm-2。AL是用一般長度量具不易測準(zhǔn)的微小量，本實(shí)驗(yàn)用光杠桿法對(duì)其進(jìn)行測量。 設(shè)實(shí)驗(yàn)中所用鋼絲直徑為 d，則s=2 n2，將此公式代入上式整理以后得 4 4FL Y = nd2 上式表明，對(duì)于長度 L,直徑d和所加外力F相同的情況下，楊氏模量 Y大的金屬絲的 伸長量AL小。因而，楊氏模量表達(dá)了金屬材料抵抗外力產(chǎn)生拉伸 (或壓縮

3、)形變的能力。 2. 光杠桿原理 如圖1,光杠桿是一個(gè)支架，前兩腳與鏡面平行，后腳會(huì)隨金屬絲的伸長而上升或 下降。 由三角函數(shù)理論可知，在 B很小時(shí)有tgB~、tg2 B會(huì)于是根據(jù)圖示幾何關(guān)系可得 =丄 A (3) 2D 圖1 將⑶式代入⑵式有: 丫=萼 n I & 將F = mg代入上式，得出用伸長法測金屬的楊氏模量 Y的公式為 (4) Y = 8mgLD Y 一 nd I y 三、實(shí)驗(yàn)儀器 楊氏模量儀（帶光杠桿、望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺） ，1kg砝碼若干，米尺，游標(biāo)卡尺，千分尺, 試樣為1m左右的鋼 絲。圖2所示為楊氏模 量裝置，待測鋼絲由上 夾具固定在立柱的頂

4、端，下端用圓柱活動(dòng)夾 具頭夾緊，圓柱形夾具 穿過固定平臺(tái)的圓孔， 能隨金屬絲的伸縮而上 下移動(dòng)，其下端掛有砝 碼掛鉤。調(diào)節(jié)三腳底座 螺絲，可使整個(gè)立柱鉛 直。 圖己楊氏模雖測定儀 光杠桿的兩個(gè)前腳 尖放在平臺(tái)前方的溝槽內(nèi)，后腳尖放在活動(dòng)圓柱體上；望遠(yuǎn)鏡用于觀測由光杠桿平面鏡反射形成的標(biāo)尺像。增 加或減少砝碼時(shí)，鋼絲伸長或收縮，光杠桿的后腳會(huì)隨圓柱體下降或上升，進(jìn)而帶動(dòng)平 面鏡的鏡面偏轉(zhuǎn)，望遠(yuǎn)鏡中觀測到的標(biāo)尺像的位置亦隨之改變。 四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟 1?楊氏模量測定儀的調(diào)整 (1 )調(diào)節(jié)楊氏模量測定儀底腳螺絲，使立柱處于垂直狀態(tài)； (2 )將鋼絲上端夾住，下端穿過鋼絲夾子和砝碼

5、相連； (3) 將光杠桿放在平臺(tái)上，兩前腳尖放在平臺(tái)的溝槽內(nèi)，后腳尖放在圓柱夾頭上， 使鏡面豎直，調(diào)節(jié)平臺(tái)的上下位置，盡量使三足在同一個(gè)水平面上。 2 ?光杠桿及望遠(yuǎn)鏡直橫尺的調(diào)節(jié) (1) 在楊氏模量測定儀前方約 1米處放置望遠(yuǎn)鏡直橫尺，并使望遠(yuǎn)鏡和光杠桿在 同一個(gè)高度，并使光杠桿的鏡面和標(biāo)尺都與鋼絲平行; 看到平面鏡中直尺的像；先按圖 3所示方式進(jìn)行 (2) 調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡，在望遠(yuǎn)鏡中能 目視粗調(diào)，即望遠(yuǎn)鏡水平等高地對(duì)準(zhǔn)平 面鏡，眼睛通過鏡筒上方的準(zhǔn)星直接觀 察平面鏡，看鏡面中是否有標(biāo)尺的像。 若沒有，應(yīng)移動(dòng)望遠(yuǎn)鏡基座，直到鏡面 中心看到標(biāo)尺的像為止。若在目鏡中還 看不到標(biāo)尺像，可調(diào)

6、節(jié)望遠(yuǎn)鏡的高低。 (3) 仔細(xì)調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的目鏡， 旋轉(zhuǎn) 目鏡，使望遠(yuǎn)鏡內(nèi)的十字叉絲線看起 來 清楚為止，調(diào)節(jié)平面鏡、標(biāo)尺的位置及望遠(yuǎn)鏡的焦距，使人們能清楚地看到標(biāo)尺刻度的 像。調(diào)節(jié)過程中注意消除視差。 3. 測量 (1) 將砝碼托盤掛在下端，再放上一個(gè)砝碼成為本底砝碼，拉直鋼絲，然后記下 此時(shí)望遠(yuǎn)鏡中所對(duì)應(yīng)的讀數(shù) x ； (2) 依次增加砝碼1kg,直至將砝碼全部加完為止，然后再依次減少 1kg直至將砝 碼全部取完為止，分別記錄下讀數(shù)。注意加減砝碼要輕放。由對(duì)應(yīng)同一砝碼值的兩個(gè)讀 數(shù)求平均，然后再分組對(duì)數(shù)據(jù)應(yīng)用逐差法進(jìn)行處理； (3) 用米尺測量鋼絲長度 L ； (4) 用

7、米尺測量標(biāo)尺到平面鏡之 間的距離D ； (5) 用螺旋測微器測量鋼絲直徑 d ,變換位置測五 次(注意不能用懸掛砝碼的鋼絲) : 求平均值； (6 )將光杠桿在紙上壓出三個(gè)足印，光杠桿的后腳到兩個(gè)前腳連線的距離為 丨，用 卡尺測量出丨。 五、數(shù)據(jù)記錄與處理 1. 寫出鏡面到標(biāo)尺距離 D光杠桿臂長丨、鋼絲原長L的測量結(jié)果；光杠桿的后腳到 兩個(gè)前腳連線的距離為 丨，鋼絲長度L,標(biāo)尺到平面鏡的距離 D都取單次測量分別寫出 標(biāo)準(zhǔn)式。 2. 計(jì)算鋼絲直徑d的平均值，寫出測量結(jié)果；鋼絲直徑測量五次求平均，并寫出 d 的標(biāo)準(zhǔn)式。 3. 用逐差法計(jì)算鋼絲伸長量 Ax的平均值，寫出測量結(jié)果；

8、 測 量 次 數(shù) 砝碼質(zhì)量 m (kg) 望遠(yuǎn)鏡標(biāo)尺讀數(shù) 加砝碼時(shí) Xi (cm) 減砝碼時(shí) x/ (cm) 平均值 X (cm) 0 = xi+4 + - X (cm) 1 m1 2 E+ 1 3 m + 2 4 mV 3 5 m + 4 6 葉+ 5 7 mV 6 8 mV 7 平均 按表格記錄有關(guān)測量數(shù)據(jù)。 由誤差理論知，計(jì)量性測量應(yīng) 盡可能地進(jìn)行多次，然后用多次測量數(shù)據(jù)的

9、算術(shù)平均 值來評(píng)定待測量，以減小測量存在的偶然誤差?？蓪?duì)于某些實(shí)驗(yàn)，簡單地取各次測量的 平均值并不能達(dá)到好的效果。如本次實(shí)驗(yàn)在處理每增加一個(gè)砝碼望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的位置讀 數(shù)X1、X2、X3、…、X8時(shí)，就不能簡單地通過求相鄰兩項(xiàng)差值的算術(shù)平均值來計(jì)算增加一 個(gè)砝碼引起的變化量△ X,因?yàn)榇藭r(shí): 1 7 &= 口Xi + 1-Xi) = 7 i=i （杠亦區(qū)“皿+（X8-x7）=i（X8f） 中間測量值全部被抵消，只有始末兩個(gè)測量值起作用，與僅僅測量x 1和x等價(jià)。 x「x2、x3、x4）和（x5、 =；?Exi 4?i=5 為了發(fā)揮多次測量的優(yōu)越性，需要先將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)半

10、分為（ X6、x、X8 ）兩組，再計(jì)算兩組對(duì)應(yīng)項(xiàng)差值的算術(shù)平均值: (x5 - Xi) +(冷-X2)+(X7 - xa)+ (x8 - x4) 4 需要注意的是此時(shí)的變化量 AX是由同時(shí)增加4個(gè)砝碼引起的。 4. 用公式（4）計(jì)算鋼絲的楊氏模量 Y;寫出測量結(jié)果。 六、注意事項(xiàng) 1?光杠桿、望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)一經(jīng)調(diào)好后，在實(shí)驗(yàn)過程中就不可再變動(dòng)， 否則所測數(shù)據(jù)無效。 2?加減砝碼時(shí)，動(dòng)作要輕，盡量使其靜止不擺動(dòng)。 3?注意保護(hù)光杠桿，勿使其掉下摔壞。 4?用逐差法計(jì)算時(shí)，要清楚Ax是加幾個(gè)砝碼所得的位移， 以便計(jì)算對(duì)應(yīng)的拉力 F的 大小。 5 ?用千分尺測量金

11、屬絲的直徑時(shí)，不要壓得過緊，聽到“叭叭”聲后既可讀數(shù)。 七、思考題 1?本實(shí)驗(yàn)應(yīng)注意哪些問題？ 2. 怎樣調(diào)節(jié)光杠桿及望遠(yuǎn)鏡等組成的系統(tǒng)，使在望遠(yuǎn)鏡中能看到清晰的像？ 3. 本實(shí)驗(yàn)用了哪些原理和方法測量微小長度及處理數(shù)據(jù)？ 4. 兩根材料相同，但粗細(xì)、長度不同的鋼絲，在相同的加載條件下，他們的伸長量 是否一樣？楊氏彈性模量是否相同？ 2、霍爾位置傳感器法測量楊氏模量 、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1. 熟悉霍爾位置傳感器的特性； 2. 學(xué)習(xí)彎曲法測量黃銅的楊氏模量； 3. 測黃銅楊氏模量的同時(shí)，對(duì)霍爾位置傳感器定標(biāo); 4. 用霍爾位置傳感器測量可鍛鑄鐵的楊氏模量。 二、實(shí)驗(yàn)原理 1.

12、 霍爾位置傳感器 霍爾元件置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的磁場中，在垂直于磁場方向通以電流 I，則與這 二者相垂直的方向上將產(chǎn)生霍爾電勢差 UH Uh = K ?I ?B （ 5） （5）式中K為元件的霍爾靈敏度。如果保持霍爾元件的電流 I不變，而使其在一個(gè)均 勻梯度的磁場中移動(dòng)時(shí)，則輸出的霍爾電勢差變化量為 △Uh = K ?I ?dB ?AZ （6） dZ dB （6）式中△為位移量，此式說明若 d-為常數(shù)時(shí)，△Uh與出成正比。 dZ 為實(shí)現(xiàn)均勻梯度的磁場，可以如圖 4 所示，兩塊相同的磁鐵（磁鐵截面積及表 面磁感應(yīng)強(qiáng)度相同） 相對(duì)放置，即N極與 N極相對(duì)，兩磁鐵之間留一等間

13、距間隙， 霍爾元件平行于磁鐵放在該間隙的中軸 上。間隙大小要根據(jù)測量范圍和測量靈敏 度要求而定，間隙越小，磁場梯度就越大， 靈敏度就越高。磁鐵截面要遠(yuǎn)大于霍爾元 件，以盡可能的減小邊緣效應(yīng)影響，提高 測量精確度。 若磁鐵間隙內(nèi)中心截面處的磁感應(yīng)強(qiáng) J N ■— out N 圖4 -91 - 度為零，霍爾元件處于該處時(shí)，輸出的霍爾電勢差應(yīng)該為零。當(dāng)霍爾元件偏離中心沿 Z 軸發(fā)生位移時(shí)，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度不再為零，霍爾元件也就產(chǎn)生相應(yīng)的電勢差輸出，其大 小可以用數(shù)字電壓表測量。由此可以將霍爾電勢差為零時(shí)元件所處的位置作為位移參考

14、零點(diǎn)。 霍爾電勢差與位移量之間存在 對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)位移量較?。?< 2mm）,這一對(duì)應(yīng) 關(guān)系具有良好的線性。 2. 楊氏模量 任何固體在外力作用下都會(huì)發(fā)生形變，同外 力與形變相關(guān)的兩個(gè)物理量應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān) 系一般較為復(fù)雜。由胡克定律可知，在彈性限度 內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例系數(shù) Y稱為楊氏模量；楊氏模量描述材料 抵抗彈性形變能力的大 小，與材料的結(jié)構(gòu)、化學(xué) 成分及制造方法有關(guān)。楊 氏模量是工程技術(shù)中常用 的力學(xué)參數(shù)，楊氏模量描 述材料抵抗彈性形變能力 的大小，與材料的結(jié)構(gòu)、 化學(xué)成分及制造方法有 關(guān)。本實(shí)驗(yàn)是在彎曲法測 量固體材料楊氏模量的基 礎(chǔ)上，加裝霍爾位置傳感 器而成的。設(shè)

15、有效長度為 d,厚度為a，寬為b的均 勻矩形梁，置在一對(duì)平行 的刀口上，在矩形梁的中 點(diǎn)豎直向下作用一個(gè)力 F 如圖5所示，在彈性限度 12 1-銅刀口上的基線 2-讀數(shù)顯微鏡 3-刀口 4-橫梁5-銅杠桿（頂端裝有 95A型集成霍爾傳感 器）6-磁鐵盒7-磁鐵（N極相對(duì)放置） 8-調(diào)節(jié)架9-砝碼 內(nèi)，梁中點(diǎn)下垂量 AZ （撓度），在AZ<

16、 - 的寬度，AZ為梁中心由于外力作用而下降的距離， g為重力加速度。 上面公式的具體推導(dǎo)見附錄。 三、實(shí)驗(yàn)儀器 1. 霍爾位置傳感器測楊氏模量裝置一臺(tái)（底座固定箱、讀數(shù)顯微鏡、 95 型集成霍爾位 置傳感器、磁鐵兩塊等）；樣品（銅板和冷扎板）； 2. 霍爾位置傳感器輸出信號(hào)測量儀一臺(tái)（包括直流數(shù)字電壓表） 。 儀器技術(shù)指標(biāo)： （1）讀數(shù)顯微鏡 型號(hào) 放大倍數(shù) 分度值 JC - 10 型 20 0.01mm 測量范圍 (2) 砝碼 (3) 三位半數(shù)字面板表 (4) 測量儀放大倍數(shù) 0 ?6mm 10.0g砝碼8塊、20.0g砝碼2塊 0 ?200m

17、V 3---5 倍 四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟 1. 將橫梁穿在砝碼銅刀口內(nèi)，安放在兩立柱刀口的正中央位置。接著裝上銅杠桿， 將有傳感器一端插入兩立柱刀口中間，該杠桿中間的銅刀口放在刀座上。圓柱型拖尖應(yīng) 在砝碼刀口的小圓洞內(nèi)，傳感器若不在磁鐵中間，可以松弛固定螺絲使磁鐵上下移動(dòng)， 或者用調(diào)節(jié)架上的套筒螺母旋動(dòng)使磁鐵上下微動(dòng)，再固定之。注意杠桿上霍爾傳感器的 水平位置(圓柱體有固定螺絲) ； 2. 將銅杠桿上的三眼插座插在立柱的三眼插針上，用儀器電纜一端連接測量儀器， 另一端插在立柱另外三眼插針上；接通電源，調(diào)節(jié)磁鐵或儀器上調(diào)零電位器使在初始負(fù) 載的條件下儀器指示處于零值。大約預(yù)熱十分鐘左右，

18、指示值即可穩(wěn)定； 3. 調(diào)節(jié)讀數(shù)顯微鏡目鏡，直到眼睛觀察鏡內(nèi)的十字線和數(shù)字清晰，然后移動(dòng)讀數(shù)顯 微鏡使通過其能夠清楚看到銅刀口上的基線，再轉(zhuǎn)動(dòng)讀數(shù)旋紐使刀口點(diǎn)的基線與讀數(shù)顯 微鏡內(nèi)十字刻線吻合，消除視差； 4. 從讀數(shù)顯微鏡中讀出初始位置 Z。； 5. 在砝碼托盤上加一個(gè)砝碼記下位置。這樣順次增加 20g砝碼，記下相應(yīng)的位置 Z (注意在改變砝碼時(shí)，不要讓砝碼盤歪斜) ； 6. 用直尺測量橫梁的長度 d，游標(biāo)卡尺測其寬度 b，千分尺測其厚度 a。 五、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理 1. 霍爾位置傳感器的定標(biāo) 進(jìn)行測量之前，按上述安裝要求，檢查杠桿的水平、刀口的垂直、掛砝碼的刀口處 于梁中間，

19、要防止外加風(fēng)的影響，杠桿安放在磁鐵的中間，注意不要與金屬外殼接觸， 一切正常后加砝碼，使梁彎曲產(chǎn)生位移 立；精確測量傳感器信號(hào)輸出端的數(shù)值與固定 砝碼架的位置Z的關(guān)系，也就是用讀數(shù)顯微鏡對(duì)傳感器輸出量進(jìn)行定標(biāo)，測量數(shù)據(jù)按表 1記錄；作出U - Z圖。 表1霍爾位置傳感器靜態(tài)特性測量 M /g 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 Z / mm U /mV 2. 楊氏模量的測量 利用已標(biāo)定的數(shù)值，測出黃銅樣品在重物作用下的位移，測量數(shù)據(jù)記入表 2: 用逐差法對(duì)表2數(shù)據(jù)算出樣品在 M =

20、60.00g的作用下產(chǎn)生的位移量 立。 表2黃銅樣品的位移測量 M /g 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 Z /mm 3. 計(jì)算Y值 (a) 將d、a、b、立代入公式(3)求出 Y,并表示成Y=Y AY的形式。 (b) 用作圖的方法求出 Y的數(shù)值。 使用坐標(biāo)紙，以 A為橫坐標(biāo)，以F=Mg為縱坐標(biāo)，作 F?AZ圖，應(yīng)為一直線，其 斜率為 3 ,4Yba k = 3— d 從圖上求出k,則 y= 六、注意事項(xiàng) 1. 梁的厚度必須測準(zhǔn)確。在用千分尺測量黃銅厚度 a時(shí)，將千分尺旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)將要

21、 與金屬接觸時(shí)，必須用微調(diào)輪。當(dāng)聽到答答答三聲時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)。有個(gè)別學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差 較大，其原因是千分尺使用不當(dāng)，將黃銅梁厚度測得偏?。? 2. 讀數(shù)顯微鏡的準(zhǔn)絲對(duì)準(zhǔn)銅掛件(有刀口)的標(biāo)志刻度線時(shí)，注意要區(qū)別是黃銅梁 的邊沿，還是標(biāo)志線； 3. 霍爾位置傳感器定標(biāo)前，應(yīng)先將霍爾傳感器調(diào)整到零輸出位置，這時(shí)可調(diào)節(jié)電磁 鐵盒下的升降桿上的旋鈕，達(dá)到零輸出的目的，另外，應(yīng)使霍爾位置傳感器的探頭處于 兩塊磁鐵的正中間稍偏下的位置，這樣測量數(shù)據(jù)更可靠一些； 4. 加砝碼時(shí)，應(yīng)該輕拿輕放，盡量減小砝碼架的晃動(dòng)，這樣可以使電壓值在較短的 時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值，節(jié)省了實(shí)驗(yàn)時(shí)間； 5. 實(shí)驗(yàn)開始前，必須檢查橫

22、梁是否有彎曲，如有，應(yīng)矯正。 七、思考題 1. 彎曲法測量楊氏模量，主要測量誤差有哪些？請(qǐng)估算各因素的不確定度. 2. 用霍爾位置傳感器法測位移有哪些優(yōu)點(diǎn)？ 附錄： 固體、液體及氣體在受外力作用時(shí)，形狀與體積會(huì)發(fā)生或大或小的改變，這統(tǒng)稱為 形變。當(dāng)外力不太大，因而引起的形變也不太大時(shí)，撤掉外力，形變就會(huì)消失，這種形 變稱之為彈性形變。彈性形變分為長變、切變和體變?nèi)N。 一段固體棒，在其兩端沿軸方向施加大小相等、方向相反的外力 F ,其長度丨發(fā)生 改變Al，以S表示橫截面面積，稱 為應(yīng)力，相對(duì)長變；為應(yīng)變。在彈性限度內(nèi)，根 -96 - -# - 據(jù)胡克

23、定律有: F = Y? S Y稱為楊氏模量，其數(shù)值與材料性質(zhì)有關(guān)。 3 Y= d ?Mg 4a3 ?b ?AZ 以下具體推導(dǎo)式子: 在橫梁發(fā)生微小彎曲時(shí)， 面，面上部分發(fā)生壓縮， 整體說來，可以理解橫梁發(fā)生長變，可以用 楊氏模量來描寫材料的性質(zhì)。 如圖所示，虛線表示彎曲梁的中性面， 易知其既不拉伸也不壓縮，取彎曲梁長為dx 的一小段：設(shè)其曲率半徑為 R(x)，所對(duì)應(yīng)的 張角為d 9,再取中性面上部距為 y厚為dy 的一層面為研究對(duì)象，那么，梁彎曲后其長 變?yōu)?R(x)- y)?d 9,所以，變化量為： (R(x) - y)?d 0- dx 梁中存在一個(gè)中性 面下部分發(fā)生拉

24、伸， -# - d 9 =菖； R(x) -# - -# - 所以 (R(x)- y)?d 0- dx= (R(x)- y) 盤-dx=-Rx)dx ； 所以應(yīng)變?yōu)? = y & = - ■ R(x) 根據(jù)胡克定律有: 吐=-丫丄； dS R(x) dS= b?dy ; 所以 Y?b?y dF(x)心 dy; -97 - 對(duì)中性面的轉(zhuǎn)矩為: .. y ?b 2 d gF ?y=R(x)y ?dy ； -# - 積分得： 對(duì)梁上各點(diǎn)，有: 因梁的彎曲微小: 所以有： M

25、x) = a Y?b 2 R(x)y ?dy = 1 = y 〃(x) 3 R(X)?l + y(x)2?2 y (x) = o ； R(x) = Y?b ?a3 12?R(x) (a) (b) -98 - -# - 梁平衡時(shí)，梁在 x處的轉(zhuǎn)矩應(yīng)與梁右端支撐力 罟對(duì)x處的力矩平衡, 所以有: Mx) = M4-x) (c) -# - y 〃(x) =6Mg =Y?b?a3 d (2- x)； y(0) = =0 ； y（o） =0 ； y(x) =3Mg Y?b?a3 ,d 2 1 3、 (x - x ) 2 3 y值: y = 3 Mg ?d 4Y?b?a3 ； 3 d ?Mg 4a ?b?AZ 根據(jù)（a）、（b）、（ c）式可以得到: 據(jù)所討論問題的性質(zhì)有邊界條件； 解上面的微分方程得到： 將x =-代入上式，得右端點(diǎn)的 2 又 y =立； 所以，楊氏模量為： -# -