第六節(jié)數(shù)列的綜合問題在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題.知識梳理一、等差、等比數(shù)列的一些重要結(jié)論1等差數(shù)列an中，若mnpq，則amanapaq.2等比數(shù)列an中，若mnpq，則amanapaq.3等差數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍為等差數(shù)列4等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍為等比數(shù)列(m為偶數(shù)且公比為1的情況除外)5兩個等差數(shù)列an與bn的和、差構成的數(shù)列anbn，anbn仍為等差數(shù)列6兩個等比數(shù)列an與bn的積、商、倒數(shù)構成的數(shù)列anbn，仍為等比數(shù)列7等差數(shù)列an的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列8等比數(shù)列an的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列9若an為等差數(shù)列，則(c>0)是等比數(shù)列10若bn(bn>0)是等比數(shù)列，則logcbn(c>0且c1)是等差數(shù)列二、幾個數(shù)成等差、等比數(shù)列的設法三個數(shù)成等差的設法：ad，a，ad；四個數(shù)成等差的設法：a3d，ad，ad，a3d.三個數(shù)成等比的設法：，a，aq；四個數(shù)成等比的設法：，aq，aq3(因為其公比為q2>0，對于公比為負的情況不能包括)三、用函數(shù)的觀點理解等差數(shù)列、等比數(shù)列1對于等差數(shù)列ana1(n1)ddn(a1d)，當d0時，an是關于n的一次函數(shù)，對應的點(2 / 8n，an)是位于直線上的若干個離散的點；當d0時，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，對應的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；當d0時，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對應的數(shù)列是常數(shù)列；當d0時，函數(shù)是減函數(shù)，對應的數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列若等差數(shù)列的前n項和為Sn，則Snpn2qn(p，qR)當p0時，an為常數(shù)列；當p0時，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題2對于等比數(shù)列ana1qn1，可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解當a10，q1或a10,0q1時，等比數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；當a10,0q1或a10，q1時，等比數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；當q1時，是一個常數(shù)列；當q0時，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個擺動數(shù)列四、數(shù)列應用的常見模型1等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差數(shù)列模型，增加(或減少)的量就是公差2等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比數(shù)列模型，這個固定的數(shù)就是公比3遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化時，應考慮是an與an1的遞推關系，或前n項和Sn與Sn1之間的遞推關系基礎自測1設an，bn分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，a1b14，a4b41，則下列結(jié)論正確的是()Aa2b2Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析：設an的公差為d，bn的公比為q，由題可得d1，q，于是a23b22.故選A.答案：A2在等差數(shù)列an中，已知前三項和為15，最后三項和為78，所有項和為155，則項數(shù)n()A8 B10C12 D15解析：由已知，a1a2a315，anan1an278，兩式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.由Sn155，得n10.答案：B3(2012湖南師大附中測試)在數(shù)列和中，bn是an與an1的等差中項，a12且對任意nN*都有3an1an0，則數(shù)列的通項公式為_答案：bn43n.4. 一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，開機時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機后經(jīng)過_分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB210KB)解析：依題意可知：a02，a122，a223，an2n1，64MB64210216KB，令2n1216，得n15.開機后45分鐘該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存答案：45 1(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x40的兩個根，則S6_.解析：因為a1，a3是方程x25x40的兩根，且q1，所以a11，a34，則公比q2，因此S663.答案：632已知數(shù)列an的前n項和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.解析：(1)當nkN*時，Snn2kn取最大值，即8k2k2k2，故k4，從而anSnSn1n(n2)又a1S1，ann.(2)設bn，Tnb1b2bn1，Tn2TnTn2144.1(2013東北三校第二次聯(lián)考文改編)已知數(shù)列an滿足a1，an1，nN*，則|a1|a2|a100|_.解析：依題意a22，a31，a4，a52，所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，因為|a1|a2|a3|，所以|a1|a2|a100|33|a100|a1|116.答案：1162已知數(shù)列an，bn中，對任何正整數(shù)n都有a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1.(1)若數(shù)列bn是首項為1和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式(2)若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是否是等比數(shù)列？若是，請求出通項公式；若不是，請說明理由(3)求證：<.(1)解析：依題意，數(shù)列bn的通項公式為bn2n1(nN*)，由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1，可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11(n2)，兩式相減，可得anbnn2n1，即ann.當n1時，a11，從而對一切nN*，都有ann.所以數(shù)列an的通項公式是ann.(2)解析：(法一)設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1，即bn(n2)bn.要使是一個與n無關的常數(shù)，當且僅當a1d0，即當?shù)炔顢?shù)列an滿足a1d0時，數(shù)列bn是等比數(shù)列，其通項公式是bn.當?shù)炔顢?shù)列an滿足a1d時，數(shù)列bn不是等比數(shù)列(法二)設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1，即bn(n2)若數(shù)列bn是等比數(shù)列，則，要使上述比值是一個與n無關的常數(shù)，需且只需a1d0，即當?shù)炔顢?shù)列an滿足a1d0時，數(shù)列bn是等比數(shù)列，其通項公式是bn；當?shù)炔顢?shù)列an滿足a1d時，數(shù)列bn不是等比數(shù)列(3)證明：由(1)知anbnn2n1，< (n3)，當n1時，1<；當n2時，1<，故<. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！