第六節(jié)空間圖形的垂直關系1.認識和理解空間中線、面垂直的有關性質(zhì)與判定定理.2.能運用定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題.知識梳理一、空間圖形的垂直關系直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直二、直線與直線垂直定義：兩條直線所成的角為90°，則稱兩直線垂直，包括兩類：相交垂直與異面垂直三、直線與平面垂直1定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面2直線與平面垂直的判定類別語言表述 應用 判定(定義)如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直證直線和平面垂直 (定理)如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面證直線和平面垂直如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面 證直線和平面垂直 3.直線與平面垂直的性質(zhì).類別語言表述圖示字母表示應用1 / 9性質(zhì)如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直 ab證兩條直線垂直如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行ab證兩條直線平行四、二面角1定義：從一條直線AB出發(fā)的兩個半平面(和)所組成的圖形叫做二面角記作二面角AB，AB叫做二面角的棱，兩個半平面(和)叫做二面角的面2二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一點O，過O分別在二面角的兩個面，內(nèi)作與棱垂直的射線OM，ON，我們把MON叫做二面角AB的平面角，用它來度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做直二面角五、兩個平面垂直的判定和性質(zhì)1定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直2兩個平面垂直的判定和性質(zhì)類別語言表述圖示字母表示應用判定根據(jù)定義，證明兩平面所成的二面角是直二面角AOB是二面角a的平面角，且AOB90°，則證兩個平面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直aa 性質(zhì)如果兩個平面垂直，那么它們所成二面角的平面角是直角，AOB是二面角a的平面角，則AOB90°證兩條直線垂直如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面laal a證直線和平面垂直基礎自測1已知直線m，n和平面，若，m，n，要使n，則應增加的條件是()AmnBnmCn Dn解析：已知直線m，n和平面，若，m，n，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，應增加條件nm，才能使得n.答案：B2(2013·珠海二模)設，是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A若l，則l B若l，則lC若l，則lD若l，則l解析：A選項中，還可能l；B選項中，也可能l；D中，也可能l.故選C.答案：C3如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：底面四邊相等，BDAC.PA平面ABCD，BDPA.PAACA，BD平面PAC.BDPC.故當DMPC(或BMPC)時，有PC平面MBD，從而有平面PCD平面MBD.4設l，m，n為三條不同的直線，為一個平面，下列命題中正確的是_若l，則l與相交；若m，n，lm，ln，則l；若lm，mn，l，則n；若lm，m，n，則ln.解析：由于直線與平面垂直是相交的特殊情況，故命題正確；由于不能確定直線m，n是否相交，不符合線面垂直的判定定理，命題不正確；根據(jù)平行線的傳遞性，ln，故當l時，一定有n，命題正確；m，n，則mn，又lm，即ln，命題正確答案：1(2013·新課標全國卷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l解析：顯然與相交，不然由mn，與m，n為異面矛盾，排除選項A；當與相交時，設交線為l，由m平面，n平面知，lm，ln，而lm，ln，于是易知ll.故選D.答案：D2(2013·廣東卷)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，ADAE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐ABCF，其中BC.(1)證明：DE/平面BCF；(2)證明：CF平面ABF；(3)當AD時，求三棱錐FDEG的體積VFDEG.(1)證明：在等邊三角形ABC中，ADAE.，在折疊后的三棱錐ABCF中也成立，DEBC，DE平面BCF, BC平面BCF，DE平面BCF.(2)證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AFBC，BFCF. 在三棱錐ABCF中，BC，BC2BF2CF2，CFBF， BFCFF，CF平面ABF.(3)解析：由(1)可知GECF，結(jié)合(2)可得GE平面DFG. VFDEGVEDFG×·DG·FG·GE××××.1(2013·惠州一模)已知集合A、B、C，A直線，B平面，CAB.若aA，bB，cC，給出下列四個命題：ac，ac，ac，ac.其中所有正確命題的序號是_解析：對于，當c表示平面時，根據(jù)ab且cb，不一定有ac成立，可能ac，故不正確；對于，以正方體過同一個頂點的三條棱為a，b，c，可得ab，cb，但是a，c是相交直線，故不正確；對于，當c表示平面時，由ab且cb不能推出ac成立，故不正確；對于，用與相同的方法，可證出ac成立，故正確綜上，正確命題的序號為.答案：2(2013·惠州二模)正方體ABCDA1B1C1D1，AA12，E為棱CC1的中點(1) 求證：B1D1AE；(2) 求證：AC平面B1DE；(3) 求三棱錐ABDE的體積(1)證明：連接BD，則BDB1D1，ABCD是正方形，ACBD.CE面ABCD，CEBD.又ACCEC，BD面ACE.AE平面ACE，BDAE，B1D1AE.(2)證明：連接AF、CF、EF.E、F是CC1、BB1的中點，CE綊B1F，四邊形B1FCE是平行四邊形，CFB1E，CF平面B1DE，B1E平面B1DE，CF平面B1DE，E，F(xiàn)是CC1、BB1的中點，EF綊BC，又BC綊AD，EF綊AD.四邊形ADEF是平行四邊形，AFED，AF平面B1DE，ED平面B1DE，AF平面B1DE，AFCFF，平面ACF平面B1DE.又AC平面ACF，AC平面B1DE .(3)解析：三棱錐ABDE的體積，即為三棱錐EABD的體積，V××AD·AB·EC××2×2×1. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！