第四節(jié)平面向量的拓展與應(yīng)用1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.知識(shí)梳理平面向量與數(shù)學(xué)的許多分支都有聯(lián)系，在高考中涉及平面向量的應(yīng)用主要有以下幾方面：1向量在平面幾何中的應(yīng)用：平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段的長(zhǎng)度)、夾角，而向量運(yùn)算，特別是向量的數(shù)量積涉及向量的模、夾角，因此可以用向量方法解決部分幾何問題利用向量方法處理幾何問題一般有以下“三步曲”：(1)轉(zhuǎn)化：用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)運(yùn)算：通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)翻譯：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系2平面向量在物理中的應(yīng)用：物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解、合成與向量的加減法相似，因此可以用向量的知識(shí)來解決某些物理問題利用向量方法處理物理問題一般有以下“三步曲”：(1)表示：把物理問題的相關(guān)量用向量表示；(2)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為向量問題模型，通過向量的運(yùn)算使問題得以解決；(3)還原：把運(yùn)算結(jié)果“還原”成物理問題3平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用：(1)向量與三角函數(shù)交匯的問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，命題以三角函數(shù)作為背景，是向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解三角形、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合的問題；(2)平面向量與函數(shù)、不等式交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)、均值不等式結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍；(3)向量與解析幾何交匯的問題，其基本思想是利用向量的坐標(biāo)表示，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)來解答基礎(chǔ)自測(cè)1在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則·()等于()A B C. D.解析：由題知P為ABC的重心，則.1 / 4則·()2|2.故選A.答案：A2已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|a·b|a|b|，則tan x的值等于()A1 B1 C. D.解析：由|a·b|a|b|知，ab.所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，故tan x1.答案：A3一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成120°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為1和2，則有(A)AF1，F(xiàn)3成90°角 BF1，F(xiàn)3成150°角CF2，F(xiàn)3成90°角 DF2，F(xiàn)3成60°角4把一個(gè)函數(shù)的圖象按向量a(3,2)平移后，得到的圖象的解析式為ylog2(x3)2，則原來的函數(shù)解析式為_答案：ylog2x1(2013·湖南卷)已知a，b是單位向量，a·b0.若向量滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A.B.C.D.解析：因?yàn)閍，b是單位向量，所以|ab|，|cab|(ab)c|1，即一個(gè)模為的向量與向量c之差的模為1，在單位圓中可解得1|c|1.答案：A2(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則·_.解析：在正方形中，所以··()2222×222.答案：21.(2012·深圳松崗中學(xué)模擬)如圖，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則()·的最小值是() A B. C2 D2解析：設(shè)|x, 則()·2·2|·|cos 2x(3x)22，當(dāng)x時(shí)，所求的最小值為.故選A.答案：A2(2012·長(zhǎng)春調(diào)研)在ABC中，向量m(2cos B，1)，向量n(1sin B，1sin 2B)，且滿足|mn|mn|.(1)求角B的大??；(2)求sin Asin C的取值范圍解析：(1)由|mn|mn|，可知mn，得m·n0.而m(2cos B,1)，n(1sin B，1sin 2B)，所以有m·n2cos Bsin 2B1sin 2B2cos B10，得cos B，所以B60°.(2)sin Asin Csin Asin(120°A)cos Asin Asin(A30°)又0A120°，則30°A30°150°，所以sin(A30°)1，所以sin Asin C，即sin Asin C的取值范圍是. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！