第六節(jié)直接證明與間接證明1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點.2.了解間接證明的一種基本方法反證法，了解反證法的思考過程、特點.知識梳理一、直接證明1綜合法：從題設(shè)的已知條件出發(fā)，運用一系列有關(guān)已確定真實的命題作為推理的依據(jù)，逐步推演而得到要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法綜合法的推理方向是由已知到求證，表現(xiàn)為由因索果，綜合法的解題步驟用符號表示是：P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論)特點：由因?qū)Ч虼司C合法又叫順推法2分析法：分析法的推理方向是由結(jié)論到題設(shè)，論證中步步尋求使其成立的充分條件，如此逐步歸結(jié)到已知的條件和已經(jīng)成立的事實，從而使命題得證，表現(xiàn)為執(zhí)果索因，分析法的證題步驟用符號表示為B(結(jié)論)B1B2BnA(已知)特點：執(zhí)果索因，因此分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法二、間接證明假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立這樣的證明方法叫反證法反證法是一種間接證明的方法1反證法的解題步驟：否定結(jié)論推演過程中引出矛盾肯定結(jié)論2反證法的理論依據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題為真，在直接證明有困難時，就可以轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立3反證法證明一個命題常采用以下步驟：(1)假定原命題的結(jié)論不成立；(2)進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的；(4)肯定原來命題的結(jié)論是正確的即“反設(shè)歸謬結(jié)論”4一般情況下，有如下幾種情況的證明題目常常采用反證法：1 / 7第一，問題共有n種情況，現(xiàn)要證明其中的1種情況成立時，可以想到用反證法把其他的n1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；第二，命題是以否定命題的形式敘述的；第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的；第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的基礎(chǔ)自測1設(shè)ta2b，sab21，則下列關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的是()AtsBtsCts Dts解析：因為stab21a2b(b1)20，所以st.答案：D2實數(shù)a、b、c不全為0是指()Aa、b、c均不為0Ba、b、c中至少有一個為0Ca、b、c至多有一個為0Da、b、c至少有一個不為0解析：不全為“0”并不是“全不為0”，而是“至少有一個不為0”故選D.答案：D3(2012·廣東六校聯(lián)考)定義運算法則如下：abab，a blg a2lg b.若M2，N ，則MN_.解析：由定義運算法則可知，M24，Nlg()2lglg 2lg 51，MN5.答案：54(2013·保定模擬)若P，Q，a0，則P、Q的大小關(guān)系是_解析：分析法，要證P<Q，需證P2<Q2即可答案：P<Q1如圖所示，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(1)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形證明：(1)因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DEPC.又因為DE平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，所以DEPCFG，DGABEF.所以四邊形DEFG為平行四邊形，又因為PCAB，所以DEDG，所以四邊形DEFG為矩形2(2013·江蘇卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos，sin)，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值(1)證明：由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即a·b0，因此ab.(2)解析：由已知條件又0<<<，coscos cos()，則，sin sin()1，所以sin ，得或.當(dāng)時，(舍去)當(dāng)時，.1(2013·惠州第三次調(diào)研)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C；(3)求三棱錐VB1EFC的體積(1) 證明：連接BD1，如圖，在DD1B中，E、F分別為D1D，DB的中點，則EF/平面ABC1D1.(2)證明：EFB1C.（3）解析：因為CF平面BDD1B1，CF平面EFB1且CFBF，因為EFBD1，B1F，B1E3.所以EF2B1F2B1E2即EFB190°，所以VB1EFCVCB1EF·SB1EF·CF××EF×B1F×CF××××1.2設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.(1)已知a11，d2，求當(dāng)nN*時，的最小值；當(dāng)nN*時，求證：<.(2)是否存在實數(shù)a1，使得對任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式amn的最小正整數(shù)解為3n2？若存在，則求a1的取值范圍；若不存在，則說明理由(1)解析：a11，d2，Snna1n2，n216，當(dāng)且僅當(dāng)n，即n8時，上式取等號故的最小值是16.證明：由知Snn2，當(dāng)nN*時，則，>0，<. (2)對nN*，關(guān)于m的不等式ama1(m1)dn的最小正整數(shù)解為cn3n2，當(dāng)n1時，a1(c11)da11；當(dāng)n2時，恒有 即 從而d，1a1<.當(dāng)d，1a1<時，對nN*且n2時，當(dāng)正整數(shù)m<cn時，有a1<n.所以存在這樣的實數(shù)a1，且a1的取值范圍是. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！