第七節(jié)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知識梳理一、三角形中的各種關(guān)系設(shè)ABC的三邊為a，b，c，對應(yīng)的三個角為A，B，C.1三內(nèi)角的關(guān)系：_.2邊與邊關(guān)系：_.3邊與角關(guān)系： (1)正弦定理：_2R.(R為ABC外接圓半徑)(2)余弦定理：_.它們的變式有：cos A_，cos B_，cos C_，abc_，_.(3)常用三角形面積公式：S_.二、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式由ABC知，A(BC)可得出sin A_，cos A_.而，有sin_，cos_.三、三角形度量問題求邊、角、面積、周長及有關(guān)圓半徑等.條件角角邊邊邊角邊邊邊邊角邊適用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“邊邊角”(abA)類型利用正弦定理求角時應(yīng)判定三角形的個數(shù)：A<90A901 / 6aba<ba>bsin Aabsin Aa<bsin Aa>bab一解兩解一解無解一解無解四、判斷三角形的形狀特征，必須深入地研究邊、角間的關(guān)系1幾個常用基本結(jié)論：ab或AB等腰三角形；a2b2c2或A90直角三角形；a2b2c2或A90鈍角三角形；若a為最大邊且a2b2c2或A為最大角且A90銳角三角形；若sin Asin B等腰三角形；若sin 2Asin 2B等腰三角形或直角三角形2.基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理(或余弦定理)進行代換、轉(zhuǎn)化逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系，即通過考慮如下兩條途徑：統(tǒng)一成角進行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；統(tǒng)一成邊進行判斷，常用余弦定理、面積公式等基礎(chǔ)自測1(2013湖南卷)在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b. 若2asin Bb，則角A等于()A.B.C. D.解析：由2asin Bb得2sin Asin Bsin B ，所以sin A，因為ABC是銳角三角形，所以A，故選A.答案：A2(2013汕頭二模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知c2，C，ABC的面積SABC，則ABC的周長為()A6 B5C4 D42解析：在ABC中，ABC的面積SABCabsin Cab，ab4.再由余弦定理 c24a2b22abcos Ca2b24，a2b28，ab4，故ABC的周長為 abc426，故選A.答案：A3(2012廣東六校聯(lián)考)已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a1，b，且B是 A與C的等差中項，則sin A_.解析：依題意B180(AC)1802B，得B60，由正弦定理得，得sin A.答案：4(2012衡陽模擬)在銳角三角形ABC中，BC1，B2A，則等于_，AC的取值范圍為_解析：設(shè)AB2.由正弦定理得，12.由銳角三角形ABC得0290045.又01803903060，故3045cos .AC2cos (，)答案：2(，)一、1.ABC 2.a b > c，b c > a，c a > b，ab < c，bc < a，ca < b3(1)(2)c2 a2b22abcos C，b2 a2c22accos B，a2 b2c22bccos Asin Asin Bsin C(3)ahaabsin Cacsin Bbcsin A二、sin(BC)cos(BC)cossin1. (2013天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC()A.B.C. D.解析：在ABC中，由余弦定理AC2BA2BC22BABCcosABC()23223 cos 5.AC，由正弦定理得sinBAC，故選C.答案：C2(2012福建卷)在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，則AC_.解析：在ABC中，利用正弦定理得AC.答案：1(2012浙江名校新高考聯(lián)盟二聯(lián)) 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，則角B的值為()A. B. C.或 D.或解析：(a2c2b2)tan Bac，cos B.整理得：sin B，即B或.故選C.答案：C2(2013韶關(guān)二模)ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，且滿足csin Aacos C0.(1)求C的值；(2)若cos A，c5，求sin B和b的值解析：(1)將csin Aacos C0利用正弦定理化簡得：2Rsin Csin A2Rsin Acos C0，即2sin Csin A2sin Acos C0，sin A0，sin Ccos C0，即tan C，C(0，)，C；(2)cos A，A，sin A，則sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin B，c5，sin Csin ，則由正弦定理，得：b34. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！