第五節(jié)　橢　圓　(一) 1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 知識(shí)梳理 一、橢圓的定義 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(zhǎng)2a的點(diǎn)的軌跡叫做________，即點(diǎn)集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a,2a＞|F1F2|}是橢圓．其中兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做____________，定點(diǎn)間的距離叫做____________(注意：2a＝時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段F1F2,2a<時(shí)，無軌跡)． 二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上：＋＝1(a>b>0)； 焦點(diǎn)在y軸上：＋＝1(a>b>0)． 四、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì) 1 / 7 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 中心 (0,0) (0,0) 焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 頂點(diǎn) (a,0)，(0，b) (b,0)，(0，a) 軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸|A1A2|的長(zhǎng)2a，短軸|B1B2|的長(zhǎng)2b，|B2O|＝b，|OF2|＝c，|B2F2|＝a 離心率 e＝(0<e<1) 范圍 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 對(duì)稱性 對(duì)稱軸方程為x＝0，y＝0；對(duì)稱中心為O(0,0) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 一、橢圓　焦點(diǎn)　焦距　 三、1.＋>1　2.＋＝1　3.＋<1 基礎(chǔ)自測(cè) 1．(2012長(zhǎng)春模擬)橢圓x2＋4y2＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：先將x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1， 則a＝1，b＝，c＝＝. 所以離心率e＝＝.故選A. 答案：A 2．(2013大綱全國(guó)卷) 已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3, 則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 與直線x＝1聯(lián)立得y＝， 因?yàn)閏＝1，所以2b2＝3a， 即2(a2－1)＝3a,2a2－3a－2＝0，a>0， 解得a＝2(負(fù)值舍去)，所以b2＝3， 故所求橢圓方程為＋＝1.故選C. 答案：C 3．(2013揚(yáng)州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為________． 解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長(zhǎng)為4a＝16， 故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16－10＝6. 答案：6 4．橢圓3x2＋ky2＝3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，)，則k＝________________. 解析：方程3x2＋ky2＝3可化為x2＋＝1， a2＝>1＝b2， c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k＝1. 答案：1 　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　 1．(2013廣東卷)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1　　　　　　　B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：依題意c＝1，因?yàn)殡x心率e＝， 所以a＝2，從而b＝， 所以橢圓方程為＋＝1.故選D. 答案：D 2．(2013江西卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明：2m－k為定值． 解析：(1)因?yàn)閑＝＝， 故＝＝1－＝， 所以a＝2b，再由a＋b＝3得a＝2，b＝1, ∴橢圓C的方程為：＋y2＝1. (2)因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)， 則BP方程為y＝k(x－2) .① 將①代入＋y2＝1，解得P. 又直線AD的方程為y＝x＋1，② ①與②聯(lián)立解得M， 由D(0,1)，P， N(x,0)三點(diǎn)共線可解得N， 所以MN的分斜率為m＝， 則2m－k＝－k＝(定值) . 1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為______． 解析：|PF1|＋|PF2|＝10， |PF1|＝10－|PF2|， |PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－ 易知點(diǎn)M在橢圓外， 連接MF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P， 此時(shí)|PM|－|PF2|取最大值|MF2|， 故|PM|＋|PF1|的最大值為 10＋|MF2|＝10＋＝15. 答案：15 2．(2013梅州二模)已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上． (1)求m的值及橢圓E的方程； (2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍． 解析：(1)因?yàn)橹本€4x－3y－16＝0交圓C所得的弦長(zhǎng)為， 所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離等于＝， 即＝，∴m＝4或m＝－4(舍去)． 又因?yàn)橹本€4x－3y－16＝0過橢圓E的右焦點(diǎn)， 所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2(4,0)． 則左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－4,0)，因?yàn)闄E圓E過A點(diǎn)， 所以|AF1|＋|AF2|＝2a. 所以2a＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2. 故橢圓E的方程為：＋＝1. (2)＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)． 則＝(x－3，y－1)． 設(shè)x＋3y＝n，則由 消x得18y2－6ny＋n2－18＝0. 由于直線x＋3y＝n與橢圓E有公共點(diǎn)， 所以Δ＝(6n)2－418(n2－18)≥0， 所以－6≤n≤6， 故＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0]． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！