第7講 解三角形應(yīng)用舉例A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2013滄州模擬)有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為 ()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20解析如圖，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.答案C2某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 ()A. B2 C.或2 D3解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案C3一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4.(2012吉林部分重點中學(xué)質(zhì)量檢測)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ()A30 B45 C60 D75解析依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0<CAD<180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5(2011上海)在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點之間的距離為_千米解析由已知條件CAB75，CBA60，得ACB45.結(jié)合正弦定理得，即，解得AC(千米)答案6.(2013云陽模擬)如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理得：，v32 n mile/h.答案32三、解答題(共25分)7(12分)某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)保標志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為ABC、ABD，經(jīng)測量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.求AB的長度解在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D.由CD，得cosCcosD，解得AB7，所以AB長度為7米8(13分)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解如題圖所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里)由正弦定理得，所以sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.易知ACB30，故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是 ()A50 m B100 m C120 m D150 m解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案A2.(2013榆林模擬)如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30，測得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3.在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式如圖，在坡度為15的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60和30，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為_米解析由題可知BAN105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20(米)，在RtAMN中，MN20 sin 6030(米)故旗桿的高度為30米答案304.(2013合肥一檢)如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當與滿足條件_時，該船沒有觸礁危險解析由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得，解得BM，要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90)n，所以當與的關(guān)系滿足mcos cos nsin()時，該船沒有觸礁危險答案mcos cos nsin()三、解答題(共25分)5(12分)(2012肇慶二模)如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米(1)求CDE的面積；(2)求A，B之間的距離解(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)連接AB，依題意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(百米)，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，AB百米6(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇解(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S .故當t時，Smin10(海里)，此時v30(海里/時)即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t時，v30海里/時故v30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.6