高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5第五節(jié)第五節(jié)解三角形解三角形考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用1(20 xx遼寧，6)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asinBcosCcsinBcosA12b，且ab，則B()A.6B.3C.23D.56解析根據(jù)正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB，即sinAcosCsinCcosA12，所以 sin(AC)12，即 sinB12，因?yàn)閍b，B6.選 A.答案A2(20 xx湖南，3)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長分別為a，b.若 2asinB 3b，則角A等于()A.12B.6C.4D.3解析由asinAbsinB，得 sinA32，又因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以A3.答案D3(20 xx天津，6)在ABC中，ABC4，AB 2，BC3，則 sinBAC()A.1010B.105C.3 1010D.55解析由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos4292 23225，AC 5，由正弦定理ACsinBBCsinA，得 sinABCsinBAC32253 1010.答案C4(20 xx上海，16)在ABC中，若 sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.則 cosCa2b2c22ab0，C為鈍角答案C5(20 xx重慶，6)若ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足(ab)2c24，且C60，則ab的值為()A.43B84 3C1D.23解析(ab)2c24，a2b2c242ab.又C60，由余弦定理有：cos 60a2b2c22ab，即a2b2c2ab.42abab，則ab43.答案A6(20 xx福建，12)若銳角ABC的面積為 10 3，且AB5，AC8，則BC等于_解析S12ABACsinA，sinA32，在銳角三角形中A3，由余弦定理得BCAB2AC22ABACcosA7.答案77(20 xx廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a 3，sinB12，C6，則b_解析因?yàn)?sinB12且B(0，)，所以B6或B56.又C6，所以B6，ABC23.又a 3，由正弦定理得asinAbsinB，即3sin23bsin6，解得b1.答案18(20 xx北京，12)在ABC中，a4，b5，c6，則sin 2AsinC_解析由余弦定理：cosAb2c2a22bc25361625634，sinA74，cosCa2b2c22ab16253624518，sinC3 78，sin 2AsinC234743 781.答案19 (20 xx重慶， 13)在ABC中，B120，AB 2，A的角平分線AD 3， 則AC_解析由正弦定理得ABsinADBADsinB，即2sinADB3sin 120，解得 sinADB22，ADB45，從而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30 6.答案610(20 xx天津，12)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知bc14a，2sinB3sinC，則 cosA的值為_解析由已知及正弦定理，得 2b3c，因?yàn)閎c14a，不妨設(shè)b3，c2，所以a4，所以 cosAb2c2a22bc14.答案1411(20 xx江蘇，14)若ABC的內(nèi)角滿足 sinA 2sinB2sinC，則 cosC的最小值是_解析由正弦定理可得a 2b2c，又 cosCa2b2c22aba2b214（a 2b）22ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab6 24，當(dāng)且僅當(dāng)3a 2b時(shí)取等號(hào)，所以 cosC的最小值是6 24.答案6 2412(20 xx新課標(biāo)全國，16)已知a，b，c，分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，則ABC面積的最大值為_解析因?yàn)閍2，所以(2b)(sinAsinB)(cb)sinC可化為(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得 cosAb2c2a22bcbc2bc12，又 0A，故A3，又 cosA12b2c242bc2bc42bc，所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，由三角形面積公式知SABC12bcsinA12bc3234bc 3，故ABC面積的最大值為 3.答案313(20 xx安徽，16)在ABC中，A34，AB6，AC3 2，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD，求AD的長解設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以a3 10.又由正弦定理，得 sinBbsinBACa33 101010，由題設(shè)知 0Bc.已知BABC2，cosB13，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由BABC2 得cacosB2，又 cosB13，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB.又b3，所以a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3 或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sinB 1cos2B1（13）22 23，由正弦定理，得 sinCcbsinB232 234 29.因abc，所以C為銳角，因此 cosC 1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cosBcosCsinBsinC13792 234 292327.考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1(20 xx新課標(biāo)全國，4)鈍角三角形ABC的面積是12，AB1，BC 2，則AC()A5B. 5C2D1解析SABC12ABBCsinB121 2sinB12，sinB22，若B45，則由余弦定理得AC1，ABC為直角三角形，不符合題意，因此B135， 由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB1221 222 5，AC 5.故選 B.答案B2(20 xx天津，6)如圖，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD，2AB 3BD，BC2BD，則 sinC的值為()A.33B.36C.63D.66解析設(shè)BDa，則BC2a，ABAD32a.在ABD中，由余弦定理，得cosAAB2AD2BD22ABAD32a232a2a2232a32a13.又A為ABC的內(nèi)角，sinA2 23.在ABC中，由正弦定理，得BCsinAABsinC，sinCABBCsinA32a2a2 2366.答案D3(20 xx天津，13)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為 3 15，bc2，cosA14，則a的值為_解析cosA14，0A，sinA154，SABC12bcsinA12bc1543 15，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA522241464，a8.答案84 (20 xx山東， 12)在ABC中， 已知ABACtanA， 當(dāng)A6時(shí)， ABC的面積為_解析根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得ABAC|AB|AC|cosA，當(dāng)A6時(shí)，根據(jù)已知可得|AB|AC|23，故ABC的面積為12|AB|AC|sin616.答案165(20 xx福建，13)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC， sinBAC2 23，AB3 2，AD3， 則BD的長為_解析cosBADcosBAC2 sinBAC2 23.故在ABD中，由余弦定理知：BD2BA2DA22BAADcosBAD3，故BD 3.答案36(20 xx上海，6)在相距 2 千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75，CBA60，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為_千米解析ACB180756045，由正弦定理得ACsin 60ABsin 452sin 45，AC 6千米答案67(20 xx新課標(biāo)全國，17)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的 2 倍(1)求sinBsinC；(2)若AD1，DC22，求BD和AC的長解(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因?yàn)镾ABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得sinBsinCACAB12.(2)因?yàn)镾ABDSADCBDDC，所以BD 2.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.8(20 xx浙江，16)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A4，b2a212c2.(1)求 tanC的值；(2)若ABC的面積為 3，求b的值解(1)由b2a212c2及正弦定理得 sin2B1212sin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A4，即BC34，得cos 2Bsin 2C2sinCcosC，解得 tanC2.(2)由 tanC2，C(0，)得sinC2 55，cosC55，又因?yàn)?sinBsin(AC)sin4C，所以 sinB3 1010，由正弦定理得c2 23b，又因?yàn)锳4，12bcsinA3，所以bc6 2，故b3.9(20 xx陜西，17)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.向量m m(a， 3b)與n n(cosA，sinB)平行(1)求A；(2)若a 7，b2，求ABC的面積解(1)因?yàn)閙 mn n，所以asinB 3bcosA0，由正弦定理，得 sinAsinB 3sinBcosA0，又 sinB0，從而 tanA 3，由于 0A，所以A3.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccosA，而a 7，b2，A3，得 74c22c，即c22c30，因?yàn)閏0，所以c3，故ABC的面積為S12bcsinA3 32.法二由正弦定理，得7sin32sinB，從而 sinB217，又由ab，知AB，所以 cosB2 77，故 sinCsin(AB)sinB3sinBcos3cosBsin33 2114.所以ABC的面積為S12absinC3 32.10(20 xx北京，15)如圖，在ABC中，B3，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2，cosADC17.(1)求 sinBAD；(2)求BD，AC的長解(1)在ADC中，因?yàn)?cosADC17，所以 sinADC4 37.所以 sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB4 371217323 314.(2)在ABD中，由正弦定理得BDABsinBADsinADB83 3144 373.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB82522851249.所以AC7.11(20 xx陜西，16)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，求 cosB的最小值(1)證明a，b，c成等差數(shù)列，ac2b.由正弦定理得 sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)解a，b，c成等比數(shù)列，b2ac.由余弦定理得cosBa2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立cosB的最小值為12.12(20 xx安徽，16)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求 sinA4 的值解(1)因?yàn)锳2B，所以 sinAsin 2B2sinBcosB.由正、余弦定理得a2ba2c2b22ac.因?yàn)閎3，c1，所以a212，a2 3.(2)由余弦定理得 cosAb2c2a22bc9112613.由于 0A，所以 sinA 1cos2A1192 23.故 sinA4 sinAcos4cosAsin42 232213 224 26.13(20 xx北京，15)在ABC中，a3，b2 6，B2A.(1)求 cosA的值；(2)求c的值解(1)因?yàn)閍3，b2 6，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得3sinA2 6sin 2A.所以2sinAcosAsinA2 63.故 cosA63.(2)由(1)知，cosA63，所以 sinA 1cos2A33.又因?yàn)锽2A，所以 cosB2cos2A113.所以 sinB 1cos2B2 23.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB5 39.所以casinCsinA5.