第五章積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分定積分 第一節(jié)一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的概念及性質(zhì) 第五五章 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah1xix1ixxabyo解決步驟解決步驟 :1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xabyo1xix1ixi2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng), ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個(gè)分點(diǎn)中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n 個(gè)小段過的路程為3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個(gè)問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 abxo二、定積分定義二、定積分定義 ,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對(duì),ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取1, ,iiixxi時(shí)只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的幾何意義定積分的幾何意義:Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 可積的充分條件可積的充分條件:(證明略)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .,)(可積在baxf5.2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)() 1 (0d)(aaxxfbaxd) 2(xxfkxxfkbabad)(d)()3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()()4(ab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()5(6) 若在 a , b 上則.0d)(xxfba,0)(xf推論推論1. 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論2.xxfbad)(xxfbad)()(ba (7). 設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba則)(d)()(abMxxfabmba)(ba 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (7) 積分中值定理積分中值定理, ,)(baCxf若則至少存在一點(diǎn), ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點(diǎn)使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性質(zhì)7 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxbay)(xfy 說明說明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 積分中值定理對(duì)abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì) 積分中值定理:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算