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1、有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關(guān)終屬楚；苦心人，天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳！ 快速解決巧解外接球問題 如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點. 考查學生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方體的外接球的有關(guān)問題 【例1】（上海中學）若棱長為3

2、的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為______________ . 【例2】（交大附中）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為， 則該球的體積為______________. 2、求長方體的外接球的有關(guān)問題 【例3】（復興高級中學）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為，則此球的表面積為______________. 【例4】（七寶中學）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）. A. B. C. D. 

3、 3.求多面體的外接球的有關(guān)問題 【例5】（上海實驗中學）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為______________. . 二、構(gòu)造法(補形法) 1、構(gòu)造正方體 【例6】（2015年上海高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為， 則其外接球的表面積是_______________. 【例7】（上海中學） 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為， 則其外接球的表面積是_______________. 【小結(jié)】 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)

4、棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為，則有. 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。 【原理】長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為， 幾何體的外接球直徑為體對角線長 即  【例8】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。 圖1 【例 9】 （建平中學）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ） A. B. C.

5、 D. 【例10】（華二附中）在等腰梯形中，，，為的中點，將與分布沿、向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積為（ ）. A. B. C. D. 圖4 【例11】 （交大附中）已知球的面上四點A、B、C、D，，，，則球的體積等于 . 2、構(gòu)造長方體 【例12】（2012年上海高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，，，若，則球的體積是 . 圖5 本文章在給出圖形的情況下解決球心

6、位置、半徑大小的問題。  三.多面體幾何性質(zhì)法 【例13】（大同中學）已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16， 則這個球的表面積是（ ） A. B. C. D. 【小結(jié)】 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的. 四.尋求軸截面圓半徑法 【例14】（西南位育中學） 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為 . 【小結(jié)】 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素

7、的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法值得我們學習.  五 .確定球心位置法 【例15】 （上海第二中學）在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ） A. B. C. D. 【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。 【例16】（復旦附中）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，,求球的體積。 【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。 四面體是正四面體,外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點， 根據(jù)勾股定理知，假設正四面體的邊長為時，它的外接球半徑為。 第6頁 /共 6頁