有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關(guān)終屬楚；苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳！ 快速解決巧解外接球問(wèn)題 如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn). 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 【例1】（上海中學(xué)）若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____________ . 【例2】（交大附中）一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為， 則該球的體積為_(kāi)_____________. 2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 【例3】（復(fù)興高級(jí)中學(xué)）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為_(kāi)_____________. 【例4】（七寶中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）. A. B. C. D.  3.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 【例5】（上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_____________. . 二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法) 1、構(gòu)造正方體 【例6】（2015年上海高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為， 則其外接球的表面積是_______________. 【例7】（上海中學(xué)） 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為， 則其外接球的表面積是_______________. 【小結(jié)】 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有. 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。 【原理】長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為， 幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即  【例8】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。 圖1 【例 9】 （建平中學(xué)）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【例10】（華二附中）在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為（ ）. A. B. C. D. 圖4 【例11】 （交大附中）已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，，，，則球的體積等于 . 2、構(gòu)造長(zhǎng)方體 【例12】（2012年上海高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，，，若，則球的體積是 . 圖5 本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問(wèn)題。  三.多面體幾何性質(zhì)法 【例13】（大同中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16， 則這個(gè)球的表面積是（ ） A. B. C. D. 【小結(jié)】 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的. 四.尋求軸截面圓半徑法 【例14】（西南位育中學(xué)） 正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 . 【小結(jié)】 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).  五 .確定球心位置法 【例15】 （上海第二中學(xué)）在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ） A. B. C. D. 【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。 【例16】（復(fù)旦附中）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，,求球的體積。 【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。 四面體是正四面體,外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn)， 根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為時(shí)，它的外接球半徑為。 第6頁(yè) /共 6頁(yè)