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1、平面三角函數(shù)綜合問(wèn)題 上海市第五十四中學(xué) 連月桂 教學(xué)目的： 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一部分，它與其它數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著廣泛而又密切的聯(lián) 系，認(rèn)真分析和運(yùn)用這些聯(lián)系， 可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力， 又由于三角函數(shù)這部 分內(nèi)容的工具性作用很強(qiáng)， 在做綜合習(xí)題時(shí)應(yīng)注意知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用， 而不必追求題目的難度、 深度，更不必過(guò)分追求解題技巧，而應(yīng)在提高自己解題能力上多花功夫 ^ 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：靈活運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)公式解決實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程： ［典型例題］ 例1.如圖2,建筑物AE與地面垂直，在某點(diǎn) B處測(cè)得建筑物 AE的頂端A的仰角為0 ,沿 直線BE方向前進(jìn)30m到點(diǎn)C,測(cè)得頂端A

2、的仰角為2。，再沿直線BE前進(jìn)10出小，至ij D點(diǎn) 測(cè)得頂端A的仰角為4。，求AE的高和0角. 解：由已知 BC=30m CD =10，3m 在 Rt^ABE中，BE=AE ctg8 在 Rt^ACE中，CE=AE- ctg2 0 ? . BC=BE-CE=AEctg 0 -ctg2 9) 同理可得 CD=CE-DE=AEctg2 0 -ctg4 0 ) 子曰 BC AE(ctg^ -ctg2R CD AE(ctg2? - ctg4R 即30二網(wǎng)…吟 =2cos2「 10 v 3 ctg 2 1-ctg 41 cos29 =逐，得 2 0=30。, 0 =15。 2

3、AE = — AC = —BC = 15m 2 2 ，建筑物高為 15ml 0 =15 這是一個(gè)三角函數(shù)在實(shí)際測(cè)量方面的應(yīng)用題 .在解決過(guò)程中運(yùn)用了幾何知識(shí)和方程的思 想，顯然，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，在解題中起到了關(guān)鍵的作用 ^ 這一題應(yīng)用題考的是三角知識(shí)，但三角知識(shí)本身并不難，難在“翻譯”，將自然語(yǔ)言 翻譯成數(shù)字語(yǔ)言.解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)就是根據(jù)題目列出幾個(gè)等式，根據(jù)題目，很容易給出， AE AE BC = , CD = .這類(lèi)題目根本沒(méi)有思考余地 . sin 2 sin 4^ 例 2.4ABC 的三個(gè)內(nèi)角為 A B、C 互不相等，方程：(sinB-sinC)x 2+(sinC-

4、sinA)x+sinA-sinB=0 有兩個(gè)相等的實(shí)根. A C ⑴求tg — tg —的值. 2 2 (2)求角B的范圍. 解：(1)由方程(sinB-sinC)x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0 有兩個(gè)相等實(shí)根，可知 sinB-sinC w 0,且： △ 二 (sinC-sinA ) 2-4(sinB-sinC)(sinA-sinB)=0 即 sin 2A+sin 2C+4sin2B+2sinAsinC-4sinAsinB-4sinBsinC=0 (sinC+sinA-2sinB) 2=0 sinC+sinA=2sinB 又由△ ABC中，A+

5、B+Cf sinC+sinA=2sin(A+C) A C 1 應(yīng)用和差化積與彳角公式，得 tg A 4g C = 1 2 2 3 (2)由(1)中，sinC+sinA=2sinB ,應(yīng)用正弦定理，可得 a+c=2b O 1 O 即 b (a c) 4 cosB 二 2 2 2 a c -b 2ac _ 2 2 3(a c ) _1 8ac 4 a2+c2>2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，而由已知條件 awc,即等號(hào)不能成立. 2 2 2 「a c -b cosB 二 2ac 2 2 3(a c ) 1 8ac 4 6ac 1 1

6、 > ——=— 8ac 4 2 =cos60 由B為△ ABC的內(nèi)角，得 0

7、多了 . 例3.在△ ABC中，三個(gè)內(nèi)角 A、B C滿足：sin C = sin A+sin B 其內(nèi)切圓半徑為 「， cos A cosB r 外接圓半徑為R,求E的最大值，并指出此時(shí)△ ABC的形狀. 解：4ABC中，A+B+C=t sin A sin B 由 sinC = cosA cosB C cos 2 .C sin — 2 i C C 一 一 . C ? 又由 sin C =2sin —cos—(二角形 ABC 中，cos—豐 0) 2 2 2 ,c/ 2 sin =—— 2 2 即 C=90 「.△ABE直角△,設(shè)其三邊為 a、b、c,可得其外

8、接圓半徑即斜邊之半為 內(nèi)切圓半徑為 ,r R ab r 二 a b c ab a b c 2ab 2sin Asin B =a b c = = (其中 sinC=1 ) c c(a b c) sin A sin B 1 2 _ cos(A- Bf)- cos(A+ B) ~A-B , 2 sin cos + 1 2 2 [其中 cos(A+B)=0] cos(A- B) r A- B V2 cos + 1 31 當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，即A = B= 時(shí)等號(hào)成立. 4

9、 的最大值為 J2 -1 ,此時(shí)△ ABC為等腰直角三角形 R 本題是三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題， 在處理這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)， 實(shí)際上多了一些隱含條件： A+B+C=，且 A、B C均在（0,兀）范圍內(nèi)，并且有 sin（A+B尸sinC , cos（A+B尸-cosC ; A+B C A+B C sin = cos— cos = sin — 2 2 , 2 2 ; 并且要熟練掌握正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式等 ^ 例1,

10、例3都是關(guān)于三角形中的三角運(yùn)算 .例2的實(shí)質(zhì)前提是sinA+sinC=2sinB.所有的高一 A C 1 學(xué)生都應(yīng)該做過(guò)幾遍這一題了，以后記住 sinA+sinC=2sinB ,就是告訴你tg tg =, 2 2 3 A C 在許多題目中，tg —tg —并不是最后所求，為了解題，你往往要把所求的式子化為含 2 2 A C tg—tg —的然后代入.例3前提挺復(fù)雜，一看到題目，就應(yīng)該自覺(jué)地化簡(jiǎn)前提 .例2,例 2 2 3這一類(lèi)題目往往出的很規(guī)范， 化簡(jiǎn)前提中要用 A+B+C=t ,化簡(jiǎn)過(guò)程中往往只留下 A+B, A+C, A, B, C, B+C之類(lèi)項(xiàng)，而約去二

11、角差的三角函數(shù) .另一點(diǎn)，三角形中角與邊的互換利用是這 一類(lèi)題目的特點(diǎn).一見(jiàn)這類(lèi)題目，就有必須考慮到角，邊關(guān)系，如例 3,給出角的關(guān)系，要 你求r, R關(guān)系，你很自然想起正弦定理：半徑與角，邊關(guān)系 .正、余弦定理是角與邊之間的 橋梁.關(guān)于三角形中三角運(yùn)算的題目特點(diǎn)是很明顯的，解題方法思路也很規(guī)范，希望你自已 好好體會(huì)把握一下，尤其是角與邊的互換關(guān)系，是本節(jié)的重點(diǎn) ^ 例 4.已知函數(shù) f（X）=tgX, （0

12、： 1 X1 X2、， X1 X ①把一［f（X1）+ f（X2）］、f （--2）或 f（X1）+ f（X2）-2f（-一2）轉(zhuǎn)化為三角 2 2 2 函數(shù)式，應(yīng)用三角函數(shù)式的變化規(guī)律，對(duì)其進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，然后再給以嚴(yán)格的證明； X ②如果注意到萬(wàn)能公式，則可以運(yùn)用變量代替，令 t = tg上，使原來(lái)含有三角函數(shù) 2 的不等式，向普通代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化，然后再給予相應(yīng)的證明，這樣，由于思考方向的差異， 當(dāng)然就會(huì)出現(xiàn)不同的證明方法 . 證法 一：f(x i)+f(x 2) fin 然］ sinx2 COSXj cosx2 _ sin(町 + 世) COS鱉1C0SK2 2殉町

13、+町) co 炳 +x2) + ccs(x1 一町) 即 1［f(xi) f(X2)］:一則3— 2 cos(x1 x2) cos(x1 -x2) 而 f(」)=tg3 = sin(xi M 2 2 1cos(x1 x2) 0 0, cosxi ? cosx2>0, 0 SEXI +X2),得證。 cos(x1 x2) cos(x1 -x2) 1 cos(x1 x2) 證法二：設(shè) M =

14、f(x1)+ f (x2) —2f(x1 *x2) 2 = ta + tgX2-2館 ? & , 2i +叼、. Xi +父公 =他陽(yáng)—tg-1 +(t圖2「館］, u u M = tgfxL-空，? (1 + tgx 擅 士盧)+ tg(x2 -受產(chǎn))Q +1群魂空當(dāng) 二館(巴/)。+ tgXjtg生詈)+ tg(三色)(1 + tgx 2館巴羅) Ml 一叼上岡十功\「 1 二館( )館( )［源1 - t期d 五 由已知 0 :二 x1 :二 x2 :二一 2 tg工^ > 0 tg)磔tgx17部 a) 乂 2 , 2 即M>0 Xi X2) 證法三：

15、由tgx 2tg 2 1 -tg 人 X1 令…a, X2 …萬(wàn)， 2tl 2t2 1 r r ■- 2[f(Xi) f(X2)] tl (tl Y2)(1川2) 由已知0 :二x1 ：： x2 1-t12 1-t22 (1-tl )(1 -t2 ) JI < 一，即 2 0 :二 X1 X2 JI 一1 一 一 一 可得 2[f(X1) f(X2)] f( 00 八 X1 X2 / r 1? 0 Ctg 一 Ctg ——<1 ,即 2 2 于是得 t12+t 22>2t 1t2, 1-

16、t 12>0 即 0<(1-t 12)(1-t 22)<(1-t 1t 2)2 + ”)(1 一 句") + ")(1 - t]t/ .. 了不1二3—7 得證。 這個(gè)習(xí)題告訴我們，在某些代數(shù)習(xí)題中，常隱含有三角函數(shù)方面的問(wèn)題，在處理這類(lèi) 問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)分析清楚代數(shù)問(wèn)題所涉及的問(wèn)題的本質(zhì)， 然后再分析三角函數(shù)的一般規(guī)律在 這個(gè)問(wèn)題中是如何體現(xiàn)的， 證法一和證法二實(shí)際上是把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行 處理，然后再回到代數(shù)問(wèn)題上來(lái)，而證法三則是通過(guò)變量代替， 使隱含的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為純 代數(shù)問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決， 無(wú)論是哪種證法，都突出說(shuō)明了高中數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)整體， 在復(fù)習(xí)三

17、角函數(shù)時(shí)，不僅要理解和掌握三角函數(shù)本身的特點(diǎn)和其內(nèi)在規(guī)律， 而且也要明確三 角函數(shù)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛聯(lián)系，以及三角函數(shù)作為工具，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用 . 相對(duì)而言，解法1,解法2,運(yùn)用的三角知識(shí)比解法 3要多，不過(guò)我認(rèn)為解法 3反而更 突出做三角題要注意的一些特點(diǎn) .學(xué)三角最頭痛的是如何選擇公式，如何決定變形方向，往 往一題做到一定步驟時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)公式可以用，有好幾個(gè)轉(zhuǎn)換方向可選擇 .解法3從 一下手起就很明確地選擇了半角的轉(zhuǎn)化思路，使題目很輕松地轉(zhuǎn)化為 （1-t 12）（1-t 22）與 (1-t lt2)2的比較，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為ti2+t22與tlt2間的比較.而這種選擇應(yīng)該

18、是比較自然的選擇： 簡(jiǎn)單 . 就我個(gè)人而言，解 1 ，解 2 的變形選擇方向不如解 3 自然 . 做三角題，一定要分析題 目前提與要求結(jié)果中角的關(guān)系，特點(diǎn)，進(jìn)而確定變形方向思路 . 盲目地變形十之八九是能做 出題目的，但似乎耗時(shí)多了點(diǎn) . 不過(guò)就我經(jīng)驗(yàn)而言，很多變形方向是在有限地盲目變形地試 探后才發(fā)現(xiàn)的， 因?yàn)樽鋈穷}另一方面一定要勇于去試， 但要靈活地放棄選擇， 不要鉆牛角 尖，要重視一些變形方向思路的積累，很多題目有共同特點(diǎn)，做過(guò)一次，如角是等比，等差 關(guān)系之類(lèi)的，下次做時(shí)，就應(yīng)該有背書(shū)默寫(xiě)的感覺(jué) . 總結(jié)： 三角題，尤其是選擇是比較容易偷懶，做摸底檢查時(shí)， 1) 我把寶押在 b>c. 2) 隨便代入一個(gè)值 . 3) 這題中 cosA