+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)一直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例1(1)(2013陜西高考)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交 C相離 D不確定(2)(2014南昌模擬)若過(guò)點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓x2y2kx2yk2150相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_自主解答(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b2>1，而圓心O到直線axby1的距離d<1，所以直線與圓相交(2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2(y1)216k2，所以16k2>0，解得<k<，由題易知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在已知圓的外部，把點(diǎn)代入圓的方程得14k4k215>0，即(k2)(k3)>0，解得k>2或k<3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案(1)B(2)【互動(dòng)探究】在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”，結(jié)果如何？解：依題意知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部，所以有解得3k2. 【方法規(guī)律】1判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)幾何法：明確圓心C的坐標(biāo)(a，b)和半徑r，將直線方程化為一般式；利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；比較d與r的大小，寫(xiě)出結(jié)論(2)代數(shù)法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量；判斷二次方程根的個(gè)數(shù)(與0的關(guān)系)；得出結(jié)論2圓與圓的位置關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是：(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫(xiě)出結(jié)論.1直線yx1與圓x2y21的位置關(guān)系是()A相切 B相交但直線不過(guò)圓心C直線過(guò)圓心 D相離解析：選B法一：由消去y，整理得x2x0，因?yàn)?24101>0，所以直線與圓相交又圓x2y21的圓心坐標(biāo)為(0,0)，且001，所以直線不過(guò)圓心法二：圓x2y21的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑長(zhǎng)為1，則圓心到直線yx1的距離d.因?yàn)?<<1，所以直線yx1與圓x2y21相交但直線不過(guò)圓心2圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y40的公切線有()A1條 B2條 C3條 D4條解析：選D圓C1：(x1)2(y1)24，圓心C1(1，1)，半徑長(zhǎng)r12；圓C2：(x2)2(y1)21，圓心C2(2,1)，半徑長(zhǎng)r21.d，r1r23，d>r1r2，兩圓外離，來(lái)源:兩圓有4條公切線考點(diǎn)二與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 例2(1)(2013安徽高考)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長(zhǎng)為()A1 B2 C4 D4(2)(2013江西高考)過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A. B C D自主解答(1)因?yàn)閳A心(1,2)到直線x2y50的距離d1，且圓的半徑r.所以所得弦長(zhǎng)24.來(lái)源:(2)由于y，即x2y21(y0)，直線l與x2y21(y0)交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，SAOB11sinAOB，且當(dāng)AOB90時(shí)，SAOB取得最大值，此時(shí)AB，點(diǎn)O到直線l的距離為，則OCB30，所以直線l的傾斜角為150，則斜率為.答案(1)C(2)B【方法規(guī)律】計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算(2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式|AB|xAxB|.1直線yx被圓x2(y2)24截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)解析：法一：幾何法：圓心到直線的距離為d，圓的半徑r2，所以弦長(zhǎng)l222.法二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程消去y可得x22x0，所以直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,2)，(0,0)，弦長(zhǎng)為2.答案：22(2014濟(jì)南模擬)已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為xym0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知22(a1)2，解得a3或a1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上，所以有30m0，即m3，故所求的直線方程為xy30.來(lái)源:答案：xy30高頻考點(diǎn)來(lái)源:考點(diǎn)三 圓的切線問(wèn)題1與圓有關(guān)的切線問(wèn)題，是近年來(lái)高考在本節(jié)命題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中、低檔題目2高考對(duì)圓的切線問(wèn)題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)過(guò)圓上一點(diǎn)求圓的切線方程；(2)過(guò)圓外一點(diǎn)求圓的切線方程；(3)與切線長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題；(4)與切線夾角有關(guān)的問(wèn)題例3(1)(2012江西高考)過(guò)直線xy20上點(diǎn)P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_(2)(2013江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上若圓心C也在直線yx1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍自主解答(1)如圖所示，|OP|2，設(shè)P(x，y)，則故P(，)(2)由題意知，圓心C是直線y2x4和yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，依題意知，1，所以k0或，因此，切線方程為y3或yx3，即切線方程為y30或3x4y120.因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，.答案(1)(，)與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題的常見(jiàn)類型與解題策略(1)過(guò)圓上一點(diǎn)求圓的切線方程首先考慮切線斜率不存在時(shí)，是否符合要求，其次考慮斜率存在時(shí)，由直線與圓相切，求出斜率k，進(jìn)而得出切線方程(2)過(guò)圓外一點(diǎn)求圓的切線方程方法同上(3)與切線長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題解題時(shí)應(yīng)注意圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，從而得出一個(gè)直角三角形，然后求解(4)與切線有關(guān)的夾角問(wèn)題與(3)相同，利用直角三角形解決問(wèn)題1(2014大慶模擬)已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為()A. x2y22x30 B. x2y24x0來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)C. x2y22x30 D. x2y24x0解析：選D設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，又因?yàn)橹本€3x4y40與圓C相切，所以2，解得a2或(舍)，因此圓的方程為(x2)2y222，即x2y24x0.2(2014豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y(x>0)上，且與直線3x4y30相切的面積最小的圓的方程為()A(x2)229B(x3)2(y1)22C(x1)2(y3)22D(x)2(y)29解析：選A設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)是(a>0)，則點(diǎn)(a>0)到直線3x4y30的距離d3，當(dāng)且僅當(dāng)3a，即a2時(shí)取等號(hào)，因此所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是3，圓的方程為(x2)229.課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法解決直線與圓位置關(guān)系的兩種方法見(jiàn)本節(jié)考點(diǎn)一方法規(guī)律3個(gè)注意點(diǎn)直線與圓相切、相交的三個(gè)注意點(diǎn)(1)涉及圓的切線時(shí)，要注意過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直；(2)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用，解題時(shí)要注意把它與點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來(lái)使用；(3)判斷直線與圓相切，特別是過(guò)圓外一點(diǎn)求圓的切線時(shí)，應(yīng)有兩條在解題中，若只求得一條，則說(shuō)明另一條的斜率不存在，這一點(diǎn)經(jīng)常忽視，應(yīng)注意檢驗(yàn)、防止出錯(cuò)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品