+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第六節(jié)幾 何 概 型 高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 與長度有關(guān)的幾何概型1與長度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型；(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型；(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型；(4)與不等式有關(guān)的幾何概型例1(1)(2013·福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a1<0”發(fā)生的概率為_(2)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為_自主解答(1)由3a1<0，得a<，而01的長度為1，故所求概率為.(2)當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.答案(1)(2)【互動(dòng)探究】本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？解：當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為. 與長度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求時(shí)間段之比即可(4)與不等式有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求兩實(shí)數(shù)之間距離之比即可1(2013·湖北高考)在區(qū)間2,4上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析：由|x|m，得mxm，當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得，解得m3.答案：32已知集合Ax|1<x<5，B，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“xAB”的概率是_來源:解析：由題意得Ax|1<x<5，Bx|2<x<3，由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，則xAB的概率為P.答案：考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型 來源:來源:例2(1)(2013·陜西高考)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是()A1 B.1 C2 D.(2)(2013·四川高考)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A. B. C. D.自主解答(1)依題意知，有信號的區(qū)域面積為×2，矩形面積為2，故無信號的概率P1.(2)設(shè)第一串彩燈亮的時(shí)刻為x，第二串彩燈亮的時(shí)刻為y，則要使兩串彩燈亮的時(shí)刻相差不超過2秒，則如圖所示，不等式組所表示的圖形面積為16，不等式組所表示的六邊形OABCDE的面積為16412，由幾何概型的概率公式可得P.答案(1)A(2)C【方法規(guī)律】求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解1(2014·邛崍模擬)已知一個(gè)三角形的三邊長分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是()A2 B1 C2 D1解析：選B如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2時(shí)，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)，ABC為等腰三角形，假設(shè)ABAC5，易知AD4，ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于，圖中的三個(gè)扇形的面積之和等于一個(gè)半徑為2的圓的面積的一半，即三個(gè)扇形的面積之和等于2，故空白區(qū)域的面積是122，所求的概率為1.2已知平面區(qū)域U(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為_解析：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖)，由圖可知SU18，SA4，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為P.答案：考點(diǎn)三與角度有關(guān)的幾何概型 例3 如圖所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率 自主解答因?yàn)锽60°，C45°，所以BAC75°.在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).【互動(dòng)探究】若本例中“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率來源:解：依題意知BCBDDC1，P(BM<1). 【方法規(guī)律】與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段提醒：有時(shí)與長度或角度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識(shí)綜合考查1. 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為_解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在yOT內(nèi)的概率為.答案：2如圖，M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是_解析：連接圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使MON90°，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時(shí)，滿足MN>R，此時(shí)N1ON2180°，故所求的概率為.答案：來源:課堂歸納通法領(lǐng)悟1條規(guī)律對幾何概型概率公式中“測度”的認(rèn)識(shí)幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法2種方法判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品