2019屆高考數(shù)學復習資料高考真題備選題庫第8章 平面解析幾何第5節(jié) 橢圓考點一 橢圓的定義、標準方程1（2013廣東，5分）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運算求解能力依題意，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：D2（2013山東，14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)A，B為橢圓C上滿足AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設(shè)t，求實數(shù)t的值解：本題綜合考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量的坐標運算等知識，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意知解得a，b1，因此橢圓C的方程為y21.(2)()當A，B兩點關(guān)于x軸對稱時，設(shè)直線AB的方程為xm，由題意得<m<0或0<m<.將xm代入橢圓方程y21，得|y| ，所以SAOB|m| ，解得m2或m2.又tt()t(2m,0)(mt,0)，因為P為橢圓C上一點，所以1.由得t24或t2，又t>0，所以t2或t.()當A，B兩點關(guān)于x軸不對稱時，設(shè)直線AB的方程為ykxh，將其代入橢圓的方程y21，得(12k2)x24khx2h220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由判別式>0可得12k2>h2，此時x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2·· .因為點O到直線AB的距離d，所以SAOB·|AB|·d×2··· ·|h|.又SAOB，所以· ·|h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因為P為橢圓C上一點，所以t2221，即1.將代入得t24或t2.又t>0，所以t2或t.經(jīng)檢驗，符合題意綜合()()得t2或t.3（2011浙江，5分）已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點若C1恰好將線段AB三等分，則()Aa2Ba213Cb2 Db22解析：對于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|，因tanCOx2，sinCOx，cosCOx，則C的坐標為(，)，代入橢圓方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C4.(2012安徽，13分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F(xiàn)1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值解：(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B(c，c)所以|AB|·|c0|c.由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·c·a240，解得a10，b5.法二：設(shè)|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta.由SAF1Ba·a·a240知，a10，b5.5(2011陜西，12分)設(shè)橢圓C：1(ab0)過點(0,4)，離心率為.()求C的方程；()求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標解：()將(0,4)代入C的方程得1，b4，又e得，即1，a5，C的方程為1.()過點(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2，AB的中點坐標，(x1x26)，即中點坐標為(，)注：用韋達定理正確求得結(jié)果，同樣給分考點二 橢圓的簡單幾何性質(zhì)1（2013新課標全國，5分）設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：本題主要考查橢圓離心率的計算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識，意在考查考生的運算求解能力法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e.法二：由PF2F1F2可知P點的橫坐標為c，將xc代入橢圓方程可解得y±，所以|PF2|.又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|，故2c·，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：D2（2013遼寧，5分）已知橢圓C：1(ab0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識，意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.答案：B3（2013四川，5分）從橢圓1(ab0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想由已知，點P(c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.ABOP，kABkOP，即，則bc，a2b2c22c2，則，即該橢圓的離心率是.答案：C4（2013福建，4分）橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為60°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.答案：15（2012新課標全國，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A. B.C. D.解析：由題意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C6（2012江西，5分）橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A.B.C. D.2解析：依題意得|F1F2|2|AF1|·|F1B|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，所以e.答案：B7（2011新課標全國，5分）橢圓1的離心率為()A. B.C. D.解析：由1可得a216，b28，c2a2b28.e2.e.答案：D8（2010福建，5分）若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為()A2 B3C6 D8解析：由橢圓1，可得點F(1,0)，點O(0,0)，設(shè)P(x，y)，2x2，則·x2xy2x2x3(1)x2x3(x2)22，當且僅當x2時，·取得最大值6.答案：C高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品