△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第三節(jié)　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 考點一 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 　 [例1]　(2013安徽高考)如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)． ①當(dāng)0<CQ<時，S為四邊形； ②當(dāng)CQ＝時，S為等腰梯形； ③當(dāng)CQ＝時，S與C1D1的交點R滿足 C1R＝； ④當(dāng)<CQ<1時，S為六邊形； ⑤當(dāng)CQ＝1時，S的面積為. [自主解答]　 對于①②，如圖1，因為正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，當(dāng)CQ＝時，PQ＝，這時過A，P，Q三點的截面與正方體表面交于點D1，AP＝D1Q＝，且PQ∥AD1，截面S為等腰梯形，當(dāng)0<CQ<時，過A，P，Q三點的截面與正方體表面的交點在棱DD1上，截面S為四邊形，故①②正確； 對于③④⑤，如圖2，延長QR交DD1的延長線于點N，連接AN交A1D1于點M，連接MC1. 取AD的中點G，作GH∥PQ交DD1于點H，可得GH∥AN，且GH＝AN，設(shè)CQ＝t， 則DN＝2t，ND1＝2t－1， ＝＝，當(dāng)t＝時，＝，可得C1R＝，故③正確， 當(dāng)<t<1時，S為五邊形，故④錯誤， 當(dāng)t＝1時，M為A1D1的中點，[來源:] S為菱形APC1M，AN＝，AP＝PC1＝， C1N＝，S的面積＝菱形APC1M的面積＝2S△C1MN＝2＝，故⑤正確． [答案]　①②③⑤ 【方法規(guī)律】 共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合． (2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上． (3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點． 如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證： (1)E、C、D1、F四點共面； (2)CE、D1F、DA三線共點． 證明：(1)連接EF，CD1，A1B. ∵E、F分別是AB、AA1的中點， ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四點共面． (2)∵四邊形EFD1C是梯形， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P， 則由P∈CE，CE?平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直線DA. ∴CE、D1F、DA三線共點． 考點二 空間兩條直線的位置關(guān)系 　 [例2]　如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確結(jié)論的為______(寫出所有正確結(jié)論的序號)． [自主解答]　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤．點B、B1、N在平面B1C中，點M在此平面外，所以BN、MB1是異面直線．同理AM、DD1也是異面直線． [答案]　③④ 【互動探究】 在本例中，若M，N分別為BC1，CD1的中點，試判斷MN與A1B1的位置關(guān)系． 解：由于MN與平面DCC1D1相交于N點，C1D1?平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點，所以MN與C1D1是異面直線．又因為C1D1∥A1B1，且A1B1與MN沒有公共點，所以A1B1與MN是異面直線．　　　　　 【方法規(guī)律】 判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法 (1)異面直線，可采用直接法或反證法．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理． (3)垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決． 如圖所示，G、H、M、N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)． 解析：圖(1)中，直線GH∥MN； 圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面； 圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面； 圖(4)中，G、M、N共面， 但H?平面GMN，因此GH與MN異面．[來源:] 所以圖(2)、(4)中GH與MN異面． 答案：(2)(4) 考點三 異面直線所成的角 　 [例3]　如圖所示，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐PABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． [自主解答]　(1)S△ABC＝22＝2， 故三棱錐PABC的體積為 V＝S△ABCPA＝22＝. (2)如圖所示，取PB的中點E，連接DE，AE， 則DE∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，則cos∠ADE＝ ＝ ＝. 即異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 【方法規(guī)律】 1．找異面直線所成的角的三種方法 (1)利用圖中已有的平行線平移． (2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移． (3)補形平移． 2．求異面直線所成角的三個步驟 (1)作：通過作平行線，得到相交直線． (2)證：證明相交直線所成的角或其補角為異面直線所成的角．[來源:] (3)算：通過解三角形，求出該角． 在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：選C　分別取AB、AA1、A1C1的中點D、E、F，連接DE，EF，DF，如圖所示， 則BA1∥DE，AC1∥EF. 所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其補角)， 設(shè)AB＝AC＝AA1＝2， 則DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，cos∠DEF＝＝＝－，則∠DEF＝120. 又因為異面直線夾角的取值范圍為， 所以異面直線BA1與AC1所成的角為60. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種方法——異面直線的判定方法 (1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．[來源:] 3個作用——3個公理的作用 　(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由 直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)；④由直線的直刻畫平面的平． (2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法． (3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品