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高考數學復習:第七章 :第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積突破熱點題型

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高考數學復習:第七章 :第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積突破熱點題型

△+△2019年數學高考教學資料△+△ 第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積 考點一 空間幾何體的表面積   [例1] (1)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是(  ) A.28+6 B.30+6 C.56+12 D.60+12 (2)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為________. [自主解答] (1)該三棱錐的直觀圖如圖所示.據俯視圖知,頂點P在底面上的投影D在棱AB上,且∠ABC=90,[來源:] 據正、俯視圖知,AD=2,BD=3,PD=4, 據側視圖知,BC=4. 綜上所述,可知BC⊥平面PAB, PB==5, PC===, AC==, PA==2. ∵PC=AC=, ∴△PAC的邊PA上的高為 h= =6. ∴S△PAB=ABPD=10,S△ABC=ABBC=10, S△PBC=PBBC=10,S△APC=PAh=6. 故三棱錐的表面積為 S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△APC=30+6. (2)該幾何體的直觀圖如圖所示: 該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內部挖去一個底面半徑為1,高為1的圓柱. ∴S表=2(4+3+12)+2π-2π=38. [答案] (1)B (2)38 【方法規(guī)律】 空間幾何體的表面積的求法技巧 (1)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積應注意重合部分的處理. (2)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和. 一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是(  ) A.372 B.360 C.292 D.280 解析:選B 由三視圖可知該幾何體是由下面一個長方體,上面一個長方體組合而成的幾何體. ∵下面長方體的表面積為8102+282+1022=232,上面長方體的表面積為862+282+262=152, 又∵長方體表面積重疊一部分, ∴幾何體的表面積為232+152-262=360. 高頻考點 考點二 空間幾何體的體積   1.空間幾何體的體積是每年高考的熱點,題型既有選擇題、填空題,也有解答題,難度偏小,屬容易題. 2.高考對空間幾何體的體積的考查常有以下幾個命題角度: (1)求簡單幾何體的體積; (2)求組合體的體積; (3)求以三視圖為背景的幾何體的體積. [例2] (1)(2013湖北高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為V1,V2,V3,V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,則有(  ) A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 (2)(2013浙江高考)已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是(  ) A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3 (3)(2012江蘇高考)如圖所示,在長方體ABCD A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,則四棱錐ABB1D1D的體積為________cm3. [自主解答] (1)由題意可知,由于上面兩個簡單幾何體均為旋轉體,下面兩個簡單幾何體均為多面體.根據三視圖可知,最上面一個簡單幾何體是上底面圓的半徑為2,下底面圓的半徑為1,高為1的圓臺,其體積V1=π(12+22+12)1=π;從上到下的第二個簡單幾何體是一個底面圓半徑為1,高為2的圓柱,其體積V2=π122=2π;從上到下的第三個簡單幾何體是邊長為2的正方體,其體積V3=23=8;從上到下的第四個簡單幾何體是一個棱臺,其上底面是邊長為2的正方形,下底面是邊長為4的正方形,棱臺的高為1,故體積V4=(22+24+42)1=,比較大小可知答案選C. (2)根據幾何體的三視圖可知,所求幾何體是一個長方體截去一個三棱錐,則幾何體的體積V=663-443=100 cm3. (3)由題意,四邊形ABCD為正方形,連接AC,交BD于O,則AC⊥BD.由面面垂直的性質定理,可證AO⊥平面BB1D1D.四棱錐底面BB1D1D的面積為32=6,從而VABB1D1D=OAS長方形BB1D1D=6. [答案] (1)C (2)B (3)6 空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)求簡單幾何體的體積.若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式求解. (2)求組合體的體積.若所給定的幾何體是組合體,不能直接利用公式求解,則常用轉換法、分割法、補形法等進行求解. (3)求以三視圖為背景的幾何體的體積.應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據條件求解. 1.(2013廣東高考)某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是(  ) A.4 B. C. D.6 解析:選B 由四棱臺的三視圖可知,臺體上底面積S1=11=1,下底面積S2=22=4,高h=2,代入臺體的體積公式V=(S1++S2)h=(1++4)2=. 2.一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π 解析:選A 這個幾何體由上、下兩部分組成,下半部分是一個長方體,其中長、寬、高分別為6+2+2=10,1+2+1=4,5;上半部分是一個橫放的半圓柱,其中底面半徑為=3,母線長為2,故V=1045+π322=200+9π. 考點三 與球有關的組合體   [例3] (2014沈陽模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為(  ) A. B.2 C. D.3 [自主解答] 如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點M. 又AM=BC=,OM=AA1=6, 所以球O的半徑R=OA= =. [答案] C 【互動探究】[來源:] 側棱和底面邊長都是3的正四棱錐的外接球半徑是多少? 解:依題意得,該正四棱錐的底面對角線的長為3=6,高為 =3, 因此底面中心到各頂點的距離均等于3, 所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心,其外接球的半徑為3.      【方法規(guī)律】 與球有關的組合體的類型及解法 (1)球與旋轉體的組合通常作出它們的軸截面解題. (2)球與多面體的組合,通常過多面體的一條側棱和球心,或“切點”、“接點”作出截面圖,把空間問題化歸為平面問題. (2013新課標全國卷Ⅰ)如圖所示,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器厚度,則球的體積為(  ) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 解析:選A 設球半徑為R cm,根據已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm,球心到截面的距離為(R-2)cm,所以由42+(R-2)2=R2,得R=5,所以球的體積V=πR3=π53= cm3. ——————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1種思想——轉化與化歸思想  計算旋轉體的側面積時,一般采用轉化的方法來進行,即將側面展開化為平面圖形,“化曲為直”來解決,因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.[來源:] 2種方法——割補法與等積法  (1)割補法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決. (2)等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數值. 2個注意點——求空間幾何體的表面積應注意兩點  (1)求組合體的表面積時,要注意各幾何體重疊部分的處理.[來源:] (2)底面是梯形的四棱柱側放時,容易和四棱臺混淆,在識別時要緊扣定義,以防出錯. 高考數學復習精品 高考數學復習精品

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