2019屆高考數(shù)學復習資料高考真題備選題庫第7章 立體幾何第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積考點 柱、錐、臺、球的表面積與體積1（2013遼寧，5分）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2C. D3解析：本題主要考查多面體、球等基本概念以及如何根據(jù)組合體中的位置關系進行準確計算，意在考查考生的空間想象能力、運算求解能力以及轉化思想如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .答案：C2（2013天津，5分）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上若球的體積為， 則正方體的棱長為_解析：本題主要考查球的體積、正方體與其外接球的關系，意在考查考生的空間想象能力設正方體的棱長為x，其外接球的半徑為R，則由球的體積為，得R3，解得R.由2Rx，得x.答案：3（2013新課標全國，5分）已知H是球O的直徑AB上一點，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_解析：本題主要考查球及其組合體的基本知識如圖，設截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因為AHHB12，所以OHR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由題意得r2，則r1，故R212，即R2.由球的表面積公式，得S4R2.答案：4（2013江蘇，5分）如圖，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F­ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1­ABC的體積為V2，則V1V2_.解析：本題考查多面體的體積，意在考查學生的化歸能力及運算能力設三棱柱A1B1C1­ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1×S·hShV2，即V1V2124.答案：1245（2013新課標全國,12分）如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABC­A1B1C1的體積解：本題主要考查線面垂直問題，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算能力及轉化能力(1)證明：取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B.因為CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以OA1AB.因為OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由題設知ABC與AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以OCOA1.又A1C，則A1C2OC2OA，故OA1OC.因為OCABO，所以OA1平面ABC，OA1為三棱柱ABC­A1B1C1的高又ABC的面積SABC，故三棱柱ABC­A1B1C1的體積VSABC×OA13.6(2013安徽,12分)如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60°，已知PBPD2，PA.(1)證明：PCBD；(2)若E為PA的中點，求三棱錐P­BCE的體積解：本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系，三棱錐體積等基礎知識和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力(1)證明：連接AC，交BD于O點，連接PO.因為底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面PAC，因此BDPC.(2)因為E是PA的中點，所以VP­BCEVC­PEBVC­PABVB­APC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因為BAD60°，所以POAO，AC2，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPO·AC3.由(1)知，BO平面APC，因此VP­BCEVB­APC··BO·SAPC.7(2013福建,12分)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60°. (1)當正視方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐P­ABCD的正視圖(要求標出尺寸，并寫出演算過程)；(2)若M為PA的中點，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐D­PBC的體積解：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系及幾何體的三視圖和體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想法一：(1)在梯形ABCD中，過點C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，從而在RtPDA中，由AD4，PAD60°，得PD4.正視圖如圖所示：(2)證明：取PB中點N，連接MN，CN.在PAB中，M是PA中點，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VD­PBCVP­DBCSDBC·PD，又SDBC6，PD4，所以VD­PBC8.法二：(1)同法一(2)證明：取AB的中點E，連接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面DME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.(3)同法一8(2013湖北,13分)如圖，某地質隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2d1.同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.過AB，AC的中點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中(1)證明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，記BCa，BC邊上的高為h，面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1­A2B2C2的體積V)時，可用近似公式V估S中·h來估算已知V(d1d2d3)S，試判斷V估與V的大小關系，并加以證明解：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力(1)證明：依題意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.因此四邊形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可證A1A2FG，所以DEFG.又M，N分別為AB，AC的中點，則D，E，F(xiàn)，G分別為A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中點，即DE、FG分別為梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位線因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，F(xiàn)G(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估<V.證明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線，可得MNBCa，即為梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG·(2d1d2d3)，即V估S中·h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1<d2<d3，得d2d1>0，d3d1>0，故V估<V.9(2012新課標全國，5分)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A.B4C4 D6解析：設球的半徑為R，由球的截面性質得R，所以球的體積VR34.答案：B10.（2012山東，4分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐ADED1的體積為_解析：三棱錐ADED1的體積等于三棱錐EDD1A的體積，即VADED1VEDD1A××1×1×1.答案：11（2012遼寧，5分）已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形若PA2，則OAB的面積為_解析：把球O的內接四棱錐還原為長方體，則球O的直徑為長方體的體對角線，則(2R)2(2)2(2)2(2)2，可得R212.OAB中，設AB邊上的高為h，則h2R2()29，則h3，所以SOAB×2×33.答案：312（2011新課標全國，5分）已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_解析：設球心為O1，半徑為r1，圓錐底面圓圓心為O2，半徑為r2，則有×4rr，即r2r1，所以O1O2，設兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高分別為h1、h2，則.答案：13.（2012新課標全國，12分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比解：(1)證明：由題設知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)設棱錐BDACC1的體積為V1，AC1.由題意得V1××1×1.又三棱柱ABCA1B1C1的體積V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品