+2019年數(shù)學高考教學資料+第九節(jié)函數(shù)模型及其應用高頻考點考點一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型1以二次函數(shù)為模型的應用題常出現(xiàn)在高考試題中，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題2高考對一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個命題角度：(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題；(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)例1(1)(2013陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為_m.(2)(2011湖北高考)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)當0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；來源:當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)自主解答(1)設內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質(zhì)可得，解得y40x，所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0<x<40)，當x20時，Smax400.(2)由題意，當0x20時，v(x)60；當20x200時，設v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當x20時，其最大值為60201 200；當20x200時，f(x)x(200x)2，當且僅當x200x，即x100時，等號成立所以當x100時，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，來源:即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時答案(1)20一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決此類問題應注意三點：二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題(2)以分段函數(shù)的形式考查解決此類問題應關注以下三點：實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解；構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)1(2013上海高考)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每一小時可獲得的利潤是100元(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤解：(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時間是 小時，每一小時可獲得的利潤是100 元，來源:獲得的利潤為100 元因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100 a元(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90 000元，1x10.設f(x)5,1x10.則f(x)325，當且僅當x6取得最大值故獲得最大利潤為90 000457 500元來源:因此甲廠應以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元2據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)(1)當t4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由解：(1)由圖象可知：當t4時，v3412，s41224.(2)當0t10時，st3tt2；當10<t20時，s103030(t10)30t150；當20<t35時，s10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.綜上，可知s(3)沙塵暴會侵襲到N城t0,10時，smax102150<650，t(10,20時，smax3020150450<650，當t(20,35時，令t270t550650.解得t130，t240.20<t35，t30.沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 考點二函數(shù)yx模型的應用 例2為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值自主解答(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x1010 2 10 70(萬元)，當且僅當6x10，即x5時等號成立所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元【方法規(guī)律】把實際問題數(shù)學化、建立數(shù)學模型一定要過好的三關(1)事理關：通過閱讀、理解，明確問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題找出突破口；(2)文理關：將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系；(3)數(shù)理關：在構建數(shù)學模型的過程中，對已知數(shù)學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數(shù)學模型(2014杭州模擬)某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？來源:解：設溫室的左側(cè)邊長為x m，則后側(cè)邊長為 m.蔬菜種植面積y(x4)8082(4<x<400)x2 80，y808280648.當且僅當x，即x40時取等號，此時20，y最大值648(m2)即當矩形溫室的邊長各為40 m、20 m時，蔬菜的種植面積最大，最大面積是648 m2.考點三指數(shù)函數(shù)模型 例3已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是m2t21t(t0，并且m>0)(1)如果m2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍自主解答(1)若m2，則22t21t2，當5時，2t，令2tx(x1)，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立亦即m2恒成立令y，則0<y1，m2(yy2)恒成立，由于yy2，m.因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.【方法規(guī)律】應用指數(shù)函數(shù)模型應注意的問題(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決；(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，再將已知有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型；(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過_小時才能開車(精確到1小時)解析：設經(jīng)過x小時才能開車由題意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.35.答案：5課堂歸納通法領悟1個防范實際問題的定義域要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域1個步驟解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義以上過程用框圖表示如下：答高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品