+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+課時限時檢測(二十四)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例(時間：60分鐘滿分：80分)命題報告考查知識點(diǎn)及角度題號及難度基礎(chǔ)中檔稍難測量距離問題1,4,710測量高度問題2,86測量角度問題59綜合應(yīng)用311,12一、選擇題(每小題5分，共30分)1已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地的距離為()A10 kmB10 kmC10 km D10 km【解析】由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020700，AC10.【答案】D2要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為()圖389A10 m B20 mC20 m D40 m【解析】設(shè)電視塔的高度為x m，則BCx，BDx.在BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40 m.【答案】D3一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時()A5海里 B5海里C10海里 D10海里【解析】如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是這艘船的速度是10(海里/小時)【答案】C4一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是()圖3810A10海里 B10海里C20海里 D20海里【解析】由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，從而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.【答案】A5(2014南昌模擬)如圖3811所示，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東30角的方向沿直線前往B處營救，則sin 的值為()圖3811A. B.C. D.【解析】連接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10，再由正弦定理，得，sin .【答案】A6某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖3812所示)，則旗桿的高度為()圖3812A10 m B30 mC10 m D10 m【解析】如圖，在ABC中，ABC105，所以ACB30.由正弦定理得，所以BC2020(m)，在RtCBD中，CDBCsin 602030(m)【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7已知A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40處， A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為_km.【解析】如圖，由已知得ACB120，AC2，AB3.設(shè)BCx，則由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120即x22x50，解得x1.【答案】18(2014長沙模擬)如圖3813，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得BCD15，BDC30，CD30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB_.圖3813【解析】設(shè)ABh，在ABC中tan 60，BCh，在BCD中，DBC1801530135，由正弦定理得，即，解得h15.【答案】159(2014昌平模擬)如圖3814所示，已知樹頂A離地面米，樹上另一點(diǎn)B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹_米時，看A，B的視角最大圖3814【解析】過C作CFAB于點(diǎn)F，設(shè)ACB，BCF.由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)則tan()，tan ，tan ().當(dāng)且僅當(dāng)FC，即FC6時，tan 取得最大值，此時取得最大值【答案】6三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)(2014濟(jì)南模擬)如圖3815，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達(dá)C處圖3815(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值【解】(1)依題意知，BAC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以漁船甲的速度為14(海里/時)(2)由(1)知BC28海里，在ABC中，BCA，由正弦定理得.即sin .11(12分)(2014煙臺模擬)某單位設(shè)計了一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD再用一根9米長的材料彎折而成，要求A和C互補(bǔ)，且ABBC圖3816(1)設(shè)ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(2)求四邊形ABCD面積的最大值【解】(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2BC2CD22BCCDcos C因為A和C互補(bǔ)，所以cos Acos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos CBC2CD22BCCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A，解得cos A，即f(x)，x(2,5)(2)四邊形ABCD的面積為S(ABADBCCD)sin Ax(5x)x(9x) x(7x) .記g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)，則g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)令g(x)0，解得x4(x7或x舍去)易知函數(shù)g(x)在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,5)上單調(diào)遞減因此g(x)的最大值為g(4)129108.所以S的最大值為6，即四邊形ABCD的面積的最大值為6 m2.12(13分)(2014鄭州模擬)某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖3817所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為ABC、ABD，經(jīng)測量ADBD14，BC10，AC16，CD.圖3817(1)求AB的長度；(2)若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建設(shè)費(fèi)用最低，請說明理由【解】(1)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C16210221610cos C，在ABD中，由余弦定理及CD整理得AB2AD2BD22ADBDcos D1421422142cos C，由得：1421422142cos C16210221610cos C，整理可得，cos C，又C為三角形的內(nèi)角，所以C60，又CD，ADBD，所以ABD是等邊三角形，故AB14，即A、B兩點(diǎn)的距離為14.(2)小李的設(shè)計符合要求理由如下：SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因為ADBDACBC，所以SABDSABC，由已知建造費(fèi)用與用地面積成正比，故選擇ABC建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低即小李的設(shè)計符合要求高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品