+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+高考真題備選題庫(kù)第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積1（2013湖南，5分）已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()A.1B.C.1 D.2解析：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能力建立平面直角坐標(biāo)系，令向量a，b的坐標(biāo)a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，則有1，|c|的最大值為圓(x1)2(y1)21上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即1.答案：C2（2013湖北，5分）已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量投影的概念，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|，故選A.答案：A3（2010遼寧，5分）平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A.B.C.D.解析：因?yàn)閏osa，b，所以sinAOBsina，b ，則SAOB|a|b|sinAOB.答案：C4(2010湖南，5分)若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60C120 D150解析：(2ab)b2abb22|a|2cosa，ba20cosa，b，所以?shī)A角為120.答案：C5(2009福建，5分)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為兩邊的三角形的面積B以b，c為兩邊的三角形的面積C以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：|bc|b|c|cos|，如圖，ac，|bcos|就是以a、b為鄰邊的平行四邊形的高，而|a|c|，|bc|a|(|b|cos|)，|bc|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積答案：C6（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.解析：依題意，可知|2ab|24|a|24ab|b|244|a|b|cos 45|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(負(fù)值舍去)答案：37（2013新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力根據(jù)數(shù)量積bc0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b21，又向量a，b的夾角為60，所以ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：28（2013安徽，5分）若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_解析：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和夾角等基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算對(duì)向量的模同時(shí)平方可得，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以有4ab4|b|2，即cosa，b.答案：9（2013浙江，4分）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_解析：本題考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力當(dāng)x0時(shí)，0，當(dāng)x0時(shí)，24，所以的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值答案：210. （2012江蘇，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)設(shè)F(x,2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：11（2012湖北，5分）已知向量a(1,0)，b(1,1)，則(1)與2ab同向的單位向量的坐標(biāo)表示為_；(2)向量b3a與向量a夾角的余弦值為_解析：(1)因?yàn)?ab(3,1)，所以與它同向的單位向量的坐標(biāo)是(，)；(2)b3a(2,1)，所以(b3a)a2，|b3a|，所以b3a與a夾角的余弦為答案：(1)(，)；(2)12（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.解析：ab與kab垂直，(ab)(kab)0，化簡(jiǎn)得(k1)(ab1)0，根據(jù)a、b向量不共線，且均為單位向量得ab10，得k10，即k1.答案：1考點(diǎn)二 平面向量的應(yīng)用1(2011山東，5分)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若 (R)，A1A2(R)，且2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，dR)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說(shuō)法正確的是()AC可能是線段AB的中點(diǎn)BD可能是線段AB的中點(diǎn)CC，D可能同時(shí)在線段AB上DC，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上解析：根據(jù)已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，從而得c；(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根據(jù)2，得2.線段AB的方程是y0，x0,1若C是線段AB的中點(diǎn)，則c，代入2得，0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說(shuō)法不正確；同理選項(xiàng)B的說(shuō)法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB上，則0<c1,0<d1，此時(shí)1，1，2，若等號(hào)成立，則只能cd1，根據(jù)定義，C，D是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項(xiàng)C的說(shuō)法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，若c>1，d>1，則<2，與2矛盾，若c<0，d<0，則是負(fù)值，與2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時(shí)<1，與2矛盾；故選項(xiàng)D的說(shuō)法是正確的答案：D2（2013遼寧，12分）設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.3（2013江蘇，15分）已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解：本題考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解和推理論證能力(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0<<，得0<<.又0<<，故.代入sin sin 1得，sin sin ，而>，所以，.4（2013天津，13分）設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為， 過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1) 求橢圓的方程； (2) 設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若8，求k的值. 解：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力(1)設(shè)F(c,0)，由，知，ac.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.則x1x2，x1x2.因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.5(2010江蘇，14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)0，求t的值解：(1)由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，2.(2)由題設(shè)知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，從而5t11，所以t.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品