2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料高考真題備選題庫第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考點一 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1（2013新課標(biāo)全國，5分）已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本知識，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln 2，)時，f(x)>0；當(dāng)x(2，ln 2)時，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln 2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2) 2.（2013山東，12分）已知函數(shù)f(x)ax2bxln x(a，bR)(1)設(shè)a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)a0，且對任意x0，f(x)f(1)試比較ln a與2b的大小解：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和相關(guān)函數(shù)值的大小比較，考查分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).當(dāng)a0時，f(x).()若b0，當(dāng)x>0時，f(x)<0恒成立，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)()若b>0，當(dāng)0<x<時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)a>0時，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a>0，得x1，x2.當(dāng)0<x<x2時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>x2時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述，當(dāng)a0，b0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；當(dāng)a0，b>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，.(2)由題意知，函數(shù)f(x)在x1處取得最小值由(1)知是f(x)的唯一極小值點，故1，整理得2ab1即b12a.令g(x)24xln x，則g(x).令g(x)0，得x，當(dāng)0<x<時，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>時，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減因此g(x)g1ln 1ln 4<0.故g(a)<0，即24aln a2bln a<0，即ln a<2b.3（2012福建，5分）已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號是()ABC D解析：f(x)x36x29xabc，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.依題意有，函數(shù)f(x)x36x29xabc的圖像與x軸有三個不同的交點，故f(1)f(3)<0，即(169abc)(3363293abc)<0，0<abc<4，f(0)abc<0，f(1)4abc>0，f(3)abc<0，故是對的答案：C4（2012遼寧，5分）函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：函數(shù)yx2ln x的定義域為(0，)，yx，令y0，則可得0<x1.答案：B5(2009江蘇，5分)函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_解析：f(x)3x230x333(x210x11)3(x1)(x11)<0，解得：1<x<11，故減區(qū)間為(1,11)答案：(1,11)6（2012新課標(biāo)全國，12分）設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(xk)f(x)x1>0，求k的最大值解：(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x(，ln a)時，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時，f(x)>0，所以，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x>0時，(xk)f(x)x1>0等價于k<x(x>0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)在(0，)上存在唯一的零點設(shè)此零點為，則(1,2)當(dāng)x(0，)時，g(x)<0；當(dāng)x(，)時，g(x)>0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于k<g()，故整數(shù)k的最大值為2.7（2012浙江，15分）已知aR，函數(shù)f(x)4x32axa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)0x1時，f(x)|2a|>0.解：(1)由題意得f(x)12x22a.當(dāng)a0時，f(x)0恒成立，此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當(dāng)a>0時，f(x)12(x)(x)，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，和，)，單調(diào)遞減區(qū)間為， .(2)證明：由于0x1，故當(dāng)a2時，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.當(dāng)a>2時，f(x)|2a|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.設(shè)g(x)2x32x1,0x1，則g(x)6x226(x)(x)，于是x0(0，)(，1)1g(x)0g(x)1減極小值增1所以，g(x)ming()1>0.所以當(dāng)0x1時，2x32x1>0.故f(x)|2a|4x34x2>0.考點二 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值1（2013新課標(biāo)全國，5分）已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯誤的是()A. x0R，f(x0)0B.函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點，則 f(x0)0解析：本題考查三次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生分析問題和解決問題的能力由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，當(dāng)x時，函數(shù)值，當(dāng)x時，函數(shù)值也，又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過x軸，即一定x0R，f(x0)0，選項A中的結(jié)論正確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過配方的方法化為形如(xm)3n(xm)h的形式，通過平移函數(shù)圖象，函數(shù)的解析式可以化為yx3nx的形式，這是一個奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形，選項B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點x1，x2，則極小值點x2x1，即函數(shù)在到極小值點的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項C中的結(jié)論錯誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，顯然選項D中的結(jié)論正確. 答案：C2（2013福建，5分）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點Cx0是f(x)的極小值點Dx0是f(x)的極小值點解析：本題主要考查函數(shù)的極值點、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力取函數(shù)f(x)x3x，則x為f(x)的極大值點，但f(3)>f，排除A；取函數(shù)f(x)(x1)2，則x1是f(x)的極大值點，但1不是f(x)的極小值點，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的極小值點，排除C，故選D.答案：D3已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0)B.C(0,1) D(0，)解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化能力由題知，x>0，f(x)ln x12ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f(x)0有兩個不等的正根，顯然a0時不合題意，必有a<0.令g(x)ln x12ax，g(x)2a，令g(x)0，得x，故g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以g(x)在x處取得最大值，即fln>0，所以0<a<.答案：B4（2013廣東，14分）設(shè)函數(shù)f(x)x3kx2x(kR)(1)當(dāng)k1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k0時，求函數(shù)f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解：本題以三次函數(shù)為背景，主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值中的應(yīng)用，意在考查考生運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想解決問題的能力(1)當(dāng)k1時，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.方程3x22x10的判別式44380，f(x)0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(2)當(dāng)k0時，f(x)3x22kx1，方程3x22kx10的判別式4k2434(k23)，當(dāng)0時，有k230，即k0時，f(x)0恒成立，這時f(x)在k，k上單調(diào)遞增，有mf(k)k3kk2kk，Mf(k)k3kk2k2k3k.當(dāng)0時，有k230，即k，令f(x)3x22kx10，解得x10，x20，且x1x20，又x1kk0，于是kx1x20，當(dāng)kxx1或x2xk時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x1xx2時，f(x)0，f(x)為減函數(shù)，故Mmaxf(k)，f(x1)，mminf(k)，f(x2)先證f(k)f(x1)3x2kx110，kx，f(x1)xkxx1xx1，f(k)f(x1)(2k3k)2k3kxx12k3x，又kx10，要證f(k)f(x1)，只需證2k3x0x4k3x1k，由kx10知x1k顯然成立，f(k)f(x1)再證f(k)f(x2)同理f(x2)，有f(k)f(x2)k(kx2)(kx)0，f(k)f(x2)綜上所述，Mf(k)2k3k，mf(k)k.5.（2013浙江，15分）已知aR，函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若|a|>1，求f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值解：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論等綜合解題能力(1)當(dāng)a1時，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因為f(2)4，所以切線方程為y6x8.(2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.當(dāng)a>1時，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0單調(diào)遞增極大值3a1單調(diào)遞減極小值a2(3a)單調(diào)遞增4a3比較f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)當(dāng)a<1時，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0單調(diào)遞減極小值3a1單調(diào)遞增28a324a2得g(a)3a1.綜上所述，f(x)的閉區(qū)間0,2|a|上的最小值為g(a)6（2012陜西，5分）設(shè)函數(shù)f(x)ln x，則()Ax為f(x)的極大值點Bx為f(x)的極小值點Cx2為f(x)的極大值點Dx2為f(x)的極小值點解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，當(dāng)x2時，f(x)0；當(dāng)x>2時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時，f(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以x2為函數(shù)f(x)的極小值點答案：D7（2011福建，5分）若a0，b0，且函數(shù)(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3C6 D9解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x)12x22ax2b，由函數(shù)(x)在x1處有極值，可知函數(shù)(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)值為零，122a2b0，所以ab6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab()2()29，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時取到等號答案：D8（2011浙江，5分）設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖像不可能為yf(x)的圖像是()解析：若x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則易得ac.因選項A、B的函數(shù)為f(x)a(x1)2，則f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸x0，且開口向下，a0，b0.f(1)2ab0.也滿足條件；選項D中，對稱軸x1，且開口向上，a0，b2a.f(1)2ab0.與圖矛盾答案：D9（2010山東，5分）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件解析：因為yx281，所以當(dāng)x9時，y0；當(dāng)x(0,9)時，y0，所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以x9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x9處取得最大值答案：C10（2012廣東，14分）設(shè)0<a<1，集合AxR|x>0，BxR|2x23(1a)x6a>0，DAB.(1)求集合D(用區(qū)間表示)；(2)求函數(shù)f(x)2x33(1a)x26ax在D內(nèi)的極值點解：(1)方程2x23(1a)x6a0的判別式9(1a)248a9(a3)(a)，而0<a<1，AxR|x>0，當(dāng)>0時，得a<或a>3，即0<a<，由2x23(1a)x6a0，解得x1，x2，有0<x1<x2，此時B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；當(dāng)0時，得a，由x22x10，得x1，此時B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)；當(dāng)<0時，得<a<1，BR，DAB(0，)綜上所述：當(dāng)0<a<時，D(0, )(，)；當(dāng)a時，D(0,1)(1，)；當(dāng)<a<1時，D(0，)(2)由題知f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，0<a<1，令f(x)0得xa或x1，當(dāng)x<a或x>1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)a<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減當(dāng)0<a<時，D(0, )( ， )，由f(0)0，f(a)2a33(1a)a26a2a2(3a)>0，f(1)23(1a)6a3a1<0，再由f(x)的單調(diào)性可得0<a<x1<1<x2，所以函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa.當(dāng)a時，D(0,1)(1，)，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa.當(dāng)<a<1時，D(0，)，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa和x1.綜上，當(dāng)<a<1時，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa和x1；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為x；當(dāng)0<a<時，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa.11（2012安徽，12分）設(shè)定義在(0，)上的函數(shù)f(x)axb(a>0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值解：(1)法一：由題設(shè)和均值不等式可知，f(x)axb2b，其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ax1，即當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.法二：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a，當(dāng)x>時，f(x)>0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<時，f(x)<0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減所以當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.(2)由題設(shè)知，f(x)a，f(1)a，解得a2或a(不合題意，舍去)將a2代入f(1)ab，解得b1.所以a2，b1.12(2010浙江，15分)已知函數(shù)f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)當(dāng)a1，b2時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個極值點，x3是f(x)的一個零點，且x3x1，x3x2.證明：存在實數(shù)x4，使得x1，x2，x3，x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x4.解：(1)當(dāng)a1，b2時，因為f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1.又f(2)0，所以f(x)在點(2,0)處的切線方程為yx2.(2)證明：因為f(x)3(xa)(x)，由于ab，故a，所以f(x)的兩個極值點為xa，x.不妨設(shè)x1a，x2，因為x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零點，故x3b，又因為a2(b)，故可令x4(a)，此時a，b依次成等差數(shù)列，所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4.考點三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題1（2013天津，14分）設(shè)a2,0，已知函數(shù)f(x)(1)證明f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減， 在區(qū)間(1, )內(nèi)單調(diào)遞增；(2)設(shè)曲線yf(x)在點Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)處的切線相互平行，且x1x2x30.證明x1x2x3>.證明：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力(1)設(shè)函數(shù)f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)x3x2ax(x0)，f1(x)3x2(a5)，由于a2,0，從而當(dāng)1<x<0時，f1(x)3x2(a5)<3a50，所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(1,0內(nèi)單調(diào)遞減f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于a2,0，所以當(dāng)0<x<1時，f2(x)<0；當(dāng)x>1時，f2(x)>0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增綜合，及f1(0)f2(0)，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因為曲線yf(x)在點Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)處的切線相互平行，從而x1，x2，x3互不相等，且f(x1)f(x2)f(x3)不妨設(shè)x1<0<x2<x3，由3x(a5)3x(a3)x2a3x(a3)x3a，可得3x3x(a3)(x2x3)0，解得x2x3，從而0<x2<<x3.設(shè)g(x)3x2(a3)xa，則g<g(x2)<g(0)a.由3x(a5)g(x2)<a，解得<x1<0，所以x1x2x3>，設(shè)t，則a，因為a2,0，所以t，故x1x2x3>t(t1)2，即x1x2x3>. 2（2013湖北，13分）設(shè)a>0，b>0，已知函數(shù)f(x).(1)當(dāng)ab時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時，稱f(x)為a，b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)(i)判斷f(1)，f，f是否成等比數(shù)列，并證明ff；(ii)a，b的幾何平均數(shù)記為G.稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)，記為H.若Hf(x)G，求x的取值范圍解：本題主要考查不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力(1)f(x)的定義域為(，1)(1，)，f(x).當(dāng)a>b時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<b時，f(x)<0，函數(shù)f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減(2)()計算得f(1)>0，f>0，f>0.故f(1)fab2，即f(1)f2.所以f(1)，f2，f成等比數(shù)列因為，即f(1)f.由得ff.()由()知fH，fG.故由Hf(x)G，得ff(x)f.當(dāng)ab時，ff(x)fa.這時，x的取值范圍為(0，)；當(dāng)a>b時，0<<1，從而<，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞增與式，得x，即x的取值范圍為；當(dāng)a<b時，>1，從而>，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞減與式，得x，即x的取值范圍為.綜上，當(dāng)ab時，x的取值范圍為(0，)；當(dāng)a>b時，x的取值范圍為；當(dāng)a<b時，x的取值范圍為 3（2012天津，14分）已知函數(shù)f(x)x3x2axa，xR，其中a>0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a>0.當(dāng)x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當(dāng)且僅當(dāng)解得0<a<.所以，a的取值范圍是(0，)(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增當(dāng)t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調(diào)遞增，在1，t3上單調(diào)遞減因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當(dāng)t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調(diào)遞增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3，2上的最小值為g(2)().當(dāng)t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調(diào)遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.4（2012湖南，13分）已知函數(shù)f(x)exax，其中a>0.(1)若對一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立解：(1)f(x)exa，令f(x)0得xln a.當(dāng)x<ln a時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln a時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xln a時，f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是對一切xR，f(x)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)aaln a1.令g(t)ttln t，則g(t)ln t.當(dāng)0<t<1時，g(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t>1時，g(t)<0，g(t)單調(diào)遞減故當(dāng)t1時，g(t)取最大值g(1)1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，式成立綜上所述，a的取值集合為1(2)由題意知，ka，令(x)f(x)kex，則(x1)ex2x1(x2x1)1，(x2)ex1x2(x1x2)1令F(t)ett1，則F(t)et1.當(dāng)t<0時，F(xiàn)(t)<0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t>0時，F(xiàn)(t)>0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增故當(dāng)t0時，F(xiàn)(t)>F(0)0，即ett1>0.從而ex2x1(x2x1)1>0，ex1x2(x1x2)1>0，又>0，>0，所以(x1)<0，(x2)>0.因為函數(shù)y(x)在區(qū)間x1，x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品