+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+ 高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 測量距離問題1測量距離問題是高考的?？純?nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題2高考對此類問題的考查常有以下兩個命題角度：來源:(1)測量問題；來源:(2)行程問題例1(1)(2011上海高考)在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離是_千米(2)(2013江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A，cos C.求索道AB的長；問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？自主解答(1)如圖，C180607545.由正弦定理，得ACAB2 千米(2)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040 m.所以索道AB的長為1 040 m.假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故當(dāng)t min時，甲、乙兩游客距離最短由正弦定理，得BCsin A500 m.乙從B出發(fā)時，甲已走了50(281)550 m，還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)答案(1)測量距離問題的常見類型及解題策略(1)測量問題首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)行程問題首先根據(jù)題意畫出圖形，建立三角函數(shù)模型，然后運(yùn)用正、余弦定理求解1 如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則這條河的寬度為_解析：CAB30，CBA75，ACB75，ABAC，河寬為AC60 m.答案：60 m2.如圖，某觀測站C在城A的南偏西20的方向，從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40的公路，在C處觀測到距離C處31 km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?，行駛?0 km后到達(dá)D處，測得C，D兩處的距離為21 km，這時此車距離A城多少千米？解：在BCD中，BC31 km，BD20 km，CD21 km，由余弦定理得cosBDC，所以cosADC，sinADC，在ACD中，由條件知CD21 km，A60，所以sinACDsin(60ADC).來源:由正弦定理，所以AD15 km，故這時此車距離A城15千米.考點(diǎn)二測量高度問題 來源:數(shù)理化網(wǎng)例2某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高自主解答如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40 m，此時DBF45.過點(diǎn)B作BECD于E，則AEB30.在BCD中，CD40 m，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，則BD20.BDE1801353015.在RtBED中，BEBDsin 152010(1) m.在RtABE中，AEB30，則ABBEtan 30(3) m.故塔高為(3)米【互動探究】在本例條件下，若該人行走的速度為6 km/h，則該人到達(dá)測得仰角最大的地方時，走了幾分鐘？解：設(shè)該人走了x m時到達(dá)測得仰角最大的地方，則xtan 30(40x)tan 15，即tan 15tan(4530)23.解得x10(3)又v6 km/h100 m/min，故所用時間t min.即該人到達(dá)測得仰角最大的地方時，走了 分鐘【方法規(guī)律】解決高度問題的注意事項(1)在解決有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為60，在塔底C處測得A處的俯角為45，已知鐵塔BC部分的高為24 m，則山高CD_m.解：由已知條件可得tanBAD，tanCAD，則tan BACtan(6045)2，解得CD(3612) m.答案：3612考點(diǎn)三測量角度問題 例3某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由自主解答(1)法一：設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S ，故當(dāng)t時，Smin10，v30 海里/小時，即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向設(shè)小艇與輪船在C處相遇，如圖所示在RtOAC中，OC20cos 3010，AC20sin 3010，又AC30 t，OCvt，故t，v30 海里/小時即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，如圖所示則來源:v2t2400900t222030tcos(9030)，即v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t時，v30.故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇【方法規(guī)律】解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.課堂歸納通法領(lǐng)悟1個步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟2種情形解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解2個注意點(diǎn)解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題(1)畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程(2)解三角形時，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品