第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性【考綱下載】1結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義2會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性1奇函數(shù)、偶函數(shù)及其圖象特征奇函數(shù)偶函數(shù)定義義一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x， 都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱2周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期1若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b(ab)上有奇偶性，則實(shí)數(shù)a，b之間有什么關(guān)系？提示：ab0.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，那么f(0)為何值？如果是偶函數(shù)呢？提示：如果f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(0)f(0)，則f(0)0；如果f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(0)不一定為0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個(gè)？提示：存在，如f(x)0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集，這樣的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)4若T為yf(x)的一個(gè)周期，那么nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期嗎？提示：不一定由周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期是非零常數(shù)，當(dāng)nZ且n0時(shí)，nT是f(x)的周期1(20xx·廣東高考)定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A4 B3 C2 D1解析：選C函數(shù)yx3，y2sin x為奇函數(shù)，y2x為非奇非偶函數(shù)，yx21為偶函數(shù)，故奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是2.2(20xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)， f(x) x2，則f(1)()A2 B0 C1 D2解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)2.3(20xx·湖北高考)x為實(shí)數(shù)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)xx在R上為()A奇函數(shù) B偶函數(shù) C增函數(shù) D周期函數(shù)解析：選D函數(shù)f(x)xx在R上的圖象如下圖：故f(x)在R上為周期函數(shù)4若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析：f(x)x2(a4)x4a為二次函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為x，因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以0，解得a4.答案：45設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則f_.解析：f(x)是周期為2的奇函數(shù)，ffff2××.答案： 前沿?zé)狳c(diǎn)(二)與奇偶性、周期性有關(guān)的交匯問(wèn)題1函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)等問(wèn)題相交匯命題2函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(x)與f(x)的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(xT)與f(x)的關(guān)系函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律因此，在解題時(shí)，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來(lái)確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題典例(20xx·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x3.又函數(shù)g(x)|xcos (x)|，則函數(shù)h(x)g(x)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A5 B6 C7 D8 解題指導(dǎo)由f(x)f(x)，f(x)f(2x)可知該函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，可畫出g(x)與f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解解析由題意知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函數(shù)圖象，如圖由圖可知函數(shù)yg(x)，yf(x)在上有6個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)h(x)g(x)f(x)在上的零點(diǎn)有6個(gè)答案B名師點(diǎn)評(píng)解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：(1)正確識(shí)別函數(shù)f(x)的性質(zhì)；(2)注意到x0是函數(shù)h(x)的一個(gè)零點(diǎn)，此處極易被忽視；(3)正確畫出函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題(20xx·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，都有f(x2)f(x)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2.若直線yxa與函數(shù)yf(x)的圖象在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是()A0 B0或C或 D0或解析：選Df(x2)f(x)，T2.又0x1時(shí)，f(x)x2，可畫出函數(shù)yf(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖顯然a0時(shí)，yx與yx2在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)另當(dāng)直線yxa與yx2(0x1)相切時(shí)也恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，由題意知x2xa，即x2xa0，14a0，則a，此時(shí)x.綜上可知a0或.