【考綱下載】1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)2根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解1函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)3.二分法的定義對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法1函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)yf(x)與x軸的交點(diǎn)嗎？是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)？提示：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)yf(x)與x軸的交點(diǎn)，而是yf(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x)0有根的函數(shù)yf(x)才有零點(diǎn)2若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定有f(a)f(b)<0嗎？提示：不一定，如圖所示，f(a)f(b)>0.3若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)f(b)<0成立，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)嗎？提示：不一定，可能有多個(gè)1(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是() A BCD解析：選C由圖象可知，選項(xiàng)C所對(duì)應(yīng)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)是相同的，故不能用二分法求解2(教材習(xí)題改編)用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)f (4)<0，給定精確度0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)算得f(2)f(x1)<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間為()A(2,4) B(3,4)C(2,3) D(2.5,3)解析：選Cf(2)f(4)<0，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)>0，零點(diǎn)x0所在的區(qū)間為(2,3)3函數(shù)f(x)log2xx4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B(1,2) C(2,3) D(3, 4)解析：選C因?yàn)閒(2)log22241<0，f(3)log231>0，所以f(2)f(3)<0，故零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(2,3)4函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析：選B函數(shù)f(x)ex3x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)yex與y3x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)在同一坐標(biāo)系下畫出yex與y3x的圖象如圖故函數(shù)f(x)ex3x只有一個(gè)零點(diǎn)5函數(shù)y|x|m有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是_解析：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y1|x|和y2m的圖象，如圖所示，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故0<m<1.答案：(0,1) 數(shù)學(xué)思想(四)利用數(shù)形結(jié)合解決方程根的問題在解決與方程的根或函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，如果按照傳統(tǒng)方法很難奏效時(shí)，常通過數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)問題來解決典例(20xx福建高考)對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b設(shè)f(x)(2x1)*(x1)，且關(guān)于x的方程f(x)m(mR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_解題指導(dǎo)方程f(x)m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線ym恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可借助圖形確定x1，x2，x3的范圍，進(jìn)而求出x1x2x3的范圍解析由定義可知，f(x)(2x1)*(x1)即f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，關(guān)于x的方程f(x)m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根x1，x2，x3，即函數(shù)f(x)的圖象與直線ym有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<m<.不妨設(shè)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3.當(dāng)x>0時(shí)，x2xm，即x2xm0，x2x31，0<x2x3<2，即0<x2x3<；當(dāng)x<0時(shí)，由得x，<x1<0，即0<x1<.0<x1x2x3<，故<x1x2x3<0.答案題后悟道1.解決本題的關(guān)鍵有以下三點(diǎn)：(1)根據(jù)新定義正確求出函數(shù)f(x)的解析式，并準(zhǔn)確畫出其圖象；(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及基本不等式確定x2x3的范圍；(3)正確確定x1的取值范圍2函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)方程f(x)0有實(shí)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)在解決函數(shù)與方程的問題時(shí)，要注意這三者之間的關(guān)系，在解題中充分利用這個(gè)關(guān)系與實(shí)際問題的轉(zhuǎn)化若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且x1,1時(shí)，f(x)1x2，函數(shù)g(x)則方程f(x)g(x)0在區(qū)間5,5上的解的個(gè)數(shù)為()A5 B7 C8 D10解析：選C依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象，結(jié)合圖象得，當(dāng)x5,5時(shí)，它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè)，即方程f(x)g(x)0在區(qū)間5,5上的解的個(gè)數(shù)為8.