+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題來源:數(shù)理化網(wǎng)1數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立上述證明過程是否正確？為什么？提示：不正確從nk到nk1的推理不正確，沒能利用當(dāng)nk時(shí)的假設(shè) 1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2 C3 D0解析：選C因?yàn)橥惯呅蔚倪厰?shù)n3，所以第一步檢驗(yàn)n3.2若f(n)1(nN*)，則f(1)為()A1 B.C1 D非以上答案解析：選Cf(n)1，f(1)11.3某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得()An6時(shí)該命題不成立 Bn6時(shí)該命題成立Cn4時(shí)該命題不成立 Dn4時(shí)該命題成立解析：選C因?yàn)楫?dāng)nk(kN*)時(shí)命題成立，則當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立現(xiàn)n5時(shí)，命題不成立，故n4時(shí)命題也不成立4(教材習(xí)題改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN，且n>1)，第一步要證的不等式是_解析：當(dāng)n2時(shí)，左邊為11，右邊為2.故應(yīng)填1<2.答案：1<25用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是_解析：當(dāng)nk時(shí)，左側(cè)123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左側(cè)123k2(k21)(k22)(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上增添(k21)(k22)(k1)2.來源:答案：(k21)(k22)(k1)2 前沿?zé)狳c(diǎn)(十四)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，常與數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合一起考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，具有一定的綜合性和難度，屬中高檔題典例(2012湖北高考改編)已知函數(shù)f(x)rxxr(1r)(x>0)，其中r為有理數(shù)，且0<r<1，(1)已知當(dāng)x(0，)時(shí)，有f(x)f(1)0，試證明如下命題：設(shè)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)，若b1b21，則a1b1a2b2a1b1a2b2；(2)請將(1)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題解題指導(dǎo)(1)對于不等式的證明要注意利用已知條件進(jìn)行突破；(2)本問數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用相對而言難度高，運(yùn)算量大，在歸納證明時(shí)一要細(xì)心運(yùn)算，二要注意假設(shè)條件的恰當(dāng)運(yùn)用來源:解(1)由已知，當(dāng)x(0，)時(shí)，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一個(gè)為0，則ab11ab22a1b1a2b2成立若a1，a2均不為0，由b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.綜上，對a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)，且b1b21，總有ab11ab22a1b1a2b2.來源:(2)(1)中命題的推廣形式為：設(shè)a1，a2，an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bn為正有理數(shù)若b1b2bn1，則ab11ab22abnna1b1a2b2anbn，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：a當(dāng)n1時(shí)，b11，有a1a1，成立b假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，成立，即若a1，a2，ak為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk為正有理數(shù)，且b1b2bk1，則ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.當(dāng)nk1時(shí)，已知a1，a2，ak，ak1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk，bk1為正有理數(shù)，且b1b2bkbk11，此時(shí)0<bk1<1，即1bk1>0，于是ab11ab22abk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1a1a2ak1bk1abk1k1.因?yàn)?，由歸納假設(shè)可得a1a2akaa2ak.從而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因?yàn)?1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，從而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故當(dāng)nk1時(shí)，成立由a，b可知，對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立 名師點(diǎn)評解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納猜想證明”問題及不等式證明時(shí)要特別關(guān)注：一是需驗(yàn)證n1，n2時(shí)結(jié)論成立，易忽略驗(yàn)證n2；二是需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法幾種常見的推證技巧，才能快速正確地解決問題除此外，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：1把初始值搞錯(cuò)；2在推證nk1時(shí)，沒有用上歸納假設(shè)；3對項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生的變化被弄錯(cuò)數(shù)列xn滿足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；來源:(2)求c的取值范圍，使xn是遞增數(shù)列解：(1)證明：先證充分性，若c<0，由于xn1xxncxnc<xn，故xn是遞減數(shù)列；再證必要性，若xn是遞減數(shù)列，則由x2<x1，可得c<0.(2)()假設(shè)xn是遞增數(shù)列由x10，得x2c，x3c22c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由xn<xn1xxnc知，對任意n1都有xn< ，注意到 xn1xxnc(1xn)(xn)，由式和式可得1xn>0，即xn<1.由式和xn0還可得，對任意n1都有xn1(1)(xn)反復(fù)運(yùn)用式，得xn(1)n1(x1)<(1)n1，xn<1和 xn<(1)n1兩式相加，知21<(1)n1對任意n1成立根據(jù)指數(shù)函數(shù)y(1)n的性質(zhì)，得210，c，故0<c.()若0<c，要證數(shù)列xn為遞增數(shù)列，即xn1xnxc>0，即證xn< 對任意n1成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0<c時(shí)，xn<對任意n1成立(i)當(dāng)n1時(shí)，x10<，結(jié)論成立(ii)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)結(jié)論成立，即xn<.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2xc在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk1f(xk)<f()，這就是說當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立故xn< 對任意n1成立因此，xn1xnxc>xn，即xn是遞增數(shù)列由知，使得數(shù)列xn單調(diào)遞增的c的范圍是.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品