+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第三節(jié)圓 的 方 程考點一求圓的方程 例1(1)經(jīng)過點A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線2xy30上的圓的方程為_(2)(2013·江西高考)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_自主解答(1)法一：由題知kAB2，A，B的中點為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)圓過A(5,2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段AB的垂直平分線上則解得C(2,1)，r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則 解得故圓的方程為(x2)2(y1)210.法三：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則解得D4，E2，F(xiàn)5.所求圓的方程為x2y24x2y50.(2)由已知可設(shè)圓心為(2，b)，由22b2(1b)2r2，得b，r2.故圓C的方程為(x2)22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)22【互動探究】本例(2)中“與直線y1相切”改為“圓心在y1上”，結(jié)果如何？解：圓過點O(0,0)和點(4,0)圓心在直線x2上，又圓心在y1上，圓心的坐標(biāo)為(2,1)，半徑r.因此，圓的方程為(x2)2(y1)25. 【方法規(guī)律】求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值求下列圓的方程：(1)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)；(2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，則有解得a1，b4，r2.故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.法二：過切點且與xy10垂直的直線為y2x3.與y4x聯(lián)立可得圓心為(1，4)，所以半徑r2.故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(2)法一：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)則解得D2，E4，F(xiàn)95，所以所求圓的方程為x2y22x4y950.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點坐標(biāo)為(4,11)，kAB，則AB的中垂線方程為3xy10.同理得AC的中垂線方程為xy30.來源:聯(lián)立得即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r10，所以所求圓的方程為(x1)2(y2)2100.考點二與圓有關(guān)的軌跡問題 例2(2013·新課標(biāo)全國卷)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.自主解答由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為1(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，來源:由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|2.若l的傾斜角不為90°，由r1R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點為Q，則，可求得Q(4,0)，所以可設(shè)l：yk(x4)由l與圓M相切得1，解得k±.當(dāng)k時，將yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，x2.所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時，由圖形的對稱性可知|AB|.綜上，|AB|2或|AB|.【方法規(guī)律】求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程解：(1)法一：設(shè)頂點C(x，y)，因為ACBC，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kAC·kBC1，所以·1，即x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)法二：設(shè)AB的中點為D，由中點坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|AB|2，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(x3且x1)(2)設(shè)點M(x，y)，點C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標(biāo)公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，點C在圓(x1)2y24(x3且x1)上運動，將x02x3，y02y代入該方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3且x1)因此動點M的軌跡方程為(x2)2y21(x3且x1)高頻考點考點三 與圓有關(guān)的最值問題1與圓有關(guān)的最值問題，是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題2高考中主要有以下幾個命題角度：(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題；(2)與圓上的點(x，y)有關(guān)的代數(shù)式的最值問題例如，形如u型；形如taxby型；形如(xa)2(yb)2型例3(1)(2013·重慶高考)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D2(2)(2013·山東高考)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_來源:自主解答(1)當(dāng)PQ所在直線過圓心且垂直于直線x3時，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，1)到直線x3的距離減去半徑2，即最小值為4.(2)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長為22.來源:來源:答案(1)B(2)2與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法形如u型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|QC|4.所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，則k.由直線MQ與圓C有交點，所以2.可得2k2，所以的最大值為2，最小值為2.課堂歸納通法領(lǐng)悟1種方法待定系數(shù)法求圓的方程(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值3個性質(zhì)常用到的圓的三個性質(zhì)在解決與圓有關(guān)的問題時，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化思路，簡便運算(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任意一弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品