第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用【考綱下載】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系2掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算3能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系4會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab|a|b|cos ，規(guī)定0a0.2向量數(shù)量積的運算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y201若abac，則bc嗎？為什么？提示：不一定a0時不成立，另外a0時，由數(shù)量積概念可知b與c不能確定2等式(ab)ca(bc)成立嗎？為什么？提示：(ab)ca(bc)不一定成立(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當(dāng)a與c不共線時它們必不相等3|ab|與|a|b|的大小之間有什么關(guān)系？提示：|ab|a|b|.因為ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |a|b|.1若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60 C120 D150解析：選C(2ab)b0，2abb20，2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2cos 10，即cos .又0，即a與b的夾角為120.2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，則x()A1 B C. D1解析：選Da(1，1)，b(2，x)，ab1，2x1，即x1.3設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，ab，則|a2b|()A. B. C. D.解析：選B|a2b| .4(20xx新課標(biāo)全國卷)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，ct a(1t)b.若bc0，則t_.解析：因為向量a，b為單位向量，所以b21，又向量a，b的夾角為60，所以ab，由bc0，得bt a(1t)b0，即t ab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案： 25(20xx新課標(biāo)全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則_.解析：選向量的基底為，則，那么()2.答案：2 前沿?zé)狳c(五)與平面向量有關(guān)的交匯問題1平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點和熱點內(nèi)容，且常與三角函數(shù)、數(shù)列、三角形、解析幾何等交匯命題，且?？汲Ｐ?此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)典例(20xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足|2，則點集P|，|1，R所表示的區(qū)域的面積是()A2 B2 C4 D4解題指導(dǎo)根據(jù)條件|2，可設(shè)A(2, 0)，B(1，)，(x，y)利用，以及|1建立關(guān)于x，y的不等式，從而將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解解析由|2，知，.設(shè)(2,0)，(1，)，(x，y)，則解得由|1，得|xy|2y|2.作可行域如圖則所求面積S244.答案D 名師點評解決本題的關(guān)鍵有以下幾點：(1)根據(jù)已知條件，恰當(dāng)設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算，這是解決此題的突破口(2)正確列出及關(guān)于x，y的不等式組(3)準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，并算得面積已知兩點M(3,0)，N(3,0)，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點，且|0，則動點P(x，y)到點M(3,0)的距離d的最小值為()A2 B3 C4 D6解析：選B因為M(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0，得66(x3)0，化簡得y212x，所以點M是拋物線y212x的焦點，所以點P到點M的距離的最小值就是原點到M(3,0)的距離，所以dmin3.