第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用【考綱下載】1了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同2.幾種常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：yaxb，(a0)；(2)反比例函數(shù)模型：y(k0)；(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a0)；(4)指數(shù)函數(shù)模型：yN(1p)x(x>0，p0)(增長(zhǎng)率問題)；(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型yblogax(x>0，a>0且a1)；(6)冪函數(shù)模型yaxnb(a，b為常數(shù)，a0)；(7)yx型(x0)；(8)分段函數(shù)型1直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是什么？提示：直線上升：勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；指數(shù)增長(zhǎng)：先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)：先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢2函數(shù)y1ex，y2100ln x，y3x100，y41002x中，隨x的增大而增大速度最快的函數(shù)是哪一個(gè)？提示：y1ex.1下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527 A一次函數(shù)模型 B冪函數(shù)模型C指數(shù)函數(shù)模型 D對(duì)數(shù)函數(shù)模型解析：選A根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型2某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè))，這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4 096個(gè)需經(jīng)過()A12小時(shí) B4小時(shí) C3小時(shí) D2小時(shí)解析：選C由題意知24t4 096，即16t4 096，解得t3.3據(jù)調(diào)查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)解析：選Dy0.2x(4 000x)0.30.1x1 200.4(20xx蘇州模擬)某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為8元每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品則獲得利潤(rùn)最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是_解析：由題意，第k檔次時(shí)，每天可獲利潤(rùn)為：y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10)，配方可得y6(k9)2864，k9時(shí)，獲得利潤(rùn)最大答案：95某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按九折出售，每件還獲利_元解析：九折出售時(shí)價(jià)格為100(125%)90%112.5元，此時(shí)每件還獲利112.510012.5元答案：12.5答 答題模板(一)函數(shù)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用典例(20xx江蘇高考)(12分)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由快速規(guī)范審題第(1)問1審結(jié)論，明解題方向觀察所求結(jié)論：求炮的最大射程問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值2審條件，挖解題信息觀察條件：炮彈發(fā)射后的軌跡方程ykx(1k2)x2(k>0)x.3建聯(lián)系，找解題突破口令y0，得xx10，從而可求炮的最大射程第(2)問1審結(jié)論，明解題方向觀察所求結(jié)論：橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可擊中目標(biāo)炮彈擊中目標(biāo)，即點(diǎn)(a,3.2)滿足炮彈發(fā)射后的軌跡方程2審條件，挖解題信息觀察條件：ykx(1k2)x2(k>0)3建聯(lián)系，找解題突破口 炮彈擊中目標(biāo)，即3.2ka(1k2)a2(k>0)有解利用0求得結(jié)論準(zhǔn)確規(guī)范答題(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，2分故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10千米 5分(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，使32ka(1k2)a2成立 8分即關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根 10分所以判別式(20a)24a2(a264)0，解得a6.所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo) 12分答題模板速成解決函數(shù)建模問題的一般步驟：第一步審清題意弄清題意，理順條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵量，明確數(shù)量關(guān)系第二步找數(shù)量關(guān)系把問題中所包含的關(guān)系可先用文字語言描述關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系，這是問題解決的一把鑰匙 第三步建數(shù)學(xué)模型將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 第四步解數(shù)學(xué)問題利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題，得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論 第五步返本還原將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題本身所具有的意義 第六步反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，如本題函數(shù)關(guān)系式，定義域等