+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+高考真題備選題庫(kù)第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 考點(diǎn)一 函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用1（2013陜西，5分）在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)(m)解析：本題主要考查構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求解應(yīng)用問(wèn)題的能力如圖，過(guò)A作AHBC于H，交DE于F，易知AFxFH40x.則Sx(40x)2，當(dāng)且僅當(dāng)40xx，即x20時(shí)取等號(hào)所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20(m)答案：202（2013重慶，12分）某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元根據(jù)題意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)由h>0，且r>0可得0<r<5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)由(1)知V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8，即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大3(2009浙江，4分)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.568超過(guò)50至200的部分0.598超過(guò)200的部分0.668低谷時(shí)間段用電價(jià)格表低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.288超過(guò)50至200的部分0.318超過(guò)200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為_(kāi)元(用數(shù)字作答)解析：高峰時(shí)段電費(fèi)a500.568(20050)0.598118.1(元)低谷時(shí)段電費(fèi)b500.288(10050)0.31830.3(元)故該家庭本月用電量為ab148.4(元)4.(2011山東，12分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.解：(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0<r2.所以建造費(fèi)用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0<r<2.由于c>3，所以c2>0，當(dāng)r30時(shí)，r.令 m，則m>0.所以y(rm)(r2rmm2)當(dāng)0<m<2即c>時(shí)，當(dāng)rm時(shí)，y0；當(dāng)r(0，m)時(shí)，y<0；當(dāng)r(m,2)時(shí)，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)當(dāng)m2即3<c時(shí)，當(dāng)r(0,2)時(shí)，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)3<c時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r2；當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r . 考點(diǎn)二 函數(shù)與其他知識(shí)的交匯1（2013安徽，12分）設(shè)函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(，)的長(zhǎng)度定義為)；(2)給定常數(shù)k(0,1)，當(dāng)1ka1k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值解：本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查考生恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力(1)因?yàn)榉匠蘟x(1a2)x20(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x10，x2，故f(x)>0的解集為x|x1<x<x2因此區(qū)間I，I的長(zhǎng)度為.(2)設(shè)d(a)，則d(a).令d(a)0，得a1.由于0<k<1，故當(dāng)1ka<1時(shí)，d(a)>0，d(a)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a1k時(shí)，d(a)<0，d(a)單調(diào)遞減所以當(dāng)1ka1k時(shí)，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k處取得而<1，故d(1k)<d(1k)因此當(dāng)a1k時(shí)，d(a)在區(qū)間1k,1k上取得最小值.2（2012陜西，14分）設(shè)函數(shù)f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)設(shè)n2，b1，c1，證明：f(x)在區(qū)間(，1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)n為偶數(shù)，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)設(shè)n2，若對(duì)任意x1，x21,1，有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范圍解：(1)證明：當(dāng)b1，c1，n2時(shí)，f(x)xnx1.f()f(1)()1<0，f(x)在(，1)內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)nxn11>0，f(x)在(，1)上是單調(diào)遞增的，f(x)在(，1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)(2)法一：由題意知即由圖象知，b3c在點(diǎn)(0，2)處取到最小值6，在點(diǎn)(0,0)處取到最大值0，b3c的最小值為6，最大值為0.法二：由題意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，2得62(bc)(bc)b3c0，當(dāng)b0，c2時(shí)，b3c6；當(dāng)bc0時(shí)，b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.法三由題意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，當(dāng)b0，c2時(shí)，b3c6；當(dāng)bc0時(shí)，b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.(3)當(dāng)n2時(shí)，f(x)x2bxc.對(duì)任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等價(jià)于f(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：()當(dāng)|>1，即|b|>2時(shí)，M|f(1)f(1)|2|b|>4，與題設(shè)矛盾()當(dāng)1<0，即0<b2時(shí)，Mf(1)f()(1)24恒成立()當(dāng)01，即2b0時(shí)，Mf(1)f()(1)24恒成立綜上可知，2b2.注：()，()也可合并證明如下：用maxa，b表示a，b中的較大者當(dāng)11，即2b2時(shí)，Mmaxf(1)，f(1)f()f()1c|b|(c)(1)24恒成立高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品