+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第四節(jié)基本不等式 考點(diǎn)一利用基本不等式證明不等式 例1已知a>0，b>0，ab1，求證：8.自主解答2，來源:數(shù)理化網(wǎng)ab1，a>0，b>0，2224，8.【互動(dòng)探究】保持例題條件不變，證明： 2.證明：a>0，b>0，且ab1， 2.當(dāng)且僅當(dāng)a1，b1，即ab時(shí)等號成立【方法規(guī)律】利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式時(shí)，要充分利用基本不等式及其變形，同時(shí)注意基本不等式成立的條件對待證明的不等式作適當(dāng)變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行證明設(shè)a、b均為正實(shí)數(shù)，求證：ab2.證明：由于a、b均為正實(shí)數(shù)，所以2 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號成立，又因?yàn)閍b2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立，所以abab2，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時(shí)取等號.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二 利用基本不等式求最值1利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題來源:2高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)知和求積的最值；(2)知積求和的最值；(3)構(gòu)造不等式求最值例2(1)(2013·福建高考)若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0,2 B2,0C2，) D(，2(2)(2013·山東高考)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0.則當(dāng)取得最小值時(shí)，x2yz的最大值為()A0 B. C2 D.(3)(2013·天津高考)設(shè)ab2，b>0，則的最小值為_自主解答(1)因?yàn)?x>0,2y>0，所以12x2y22，故，即2xy22，所以xy2.(2)32 31，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)等號成立此時(shí)zx23xy4y2(2y)23·2y·y4y22y2.x2yz2y2y2y22(y1)22，當(dāng)y1，x2，z2時(shí)，x2yz取最大值，最大值為2.(3)ab2，b>0，b2a>0，得a<2.令t，當(dāng)0<a<2時(shí)，來源:t2 ，來源:當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a，a(0,2)時(shí)，t取得最小值為.當(dāng)a<0時(shí)，t2 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a，a2時(shí)，t取得最小值為.>，的最小值為.答案(1)D(2)C(3)利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略(1)知和求積的最值求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：具備條件正數(shù)；驗(yàn)證等號成立(2)知積求和的最值明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件(3)構(gòu)造不等式求最值在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解1已知f(x)x2(x<0)，則f(x)有()A最大值為0 B最小值為0C最大值為4 D最小值為4解析：選Cx<0，x>0，x222 24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)等號成立2(2014·衢州模擬)已知a，bR，且ab1，則的最小值為_解析：·52549.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號答案：93(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)4x(x>0，a>0)在x3時(shí)取得最小值，則a_.解析：x>0，a>0，f(x)4x2 4，當(dāng)且僅當(dāng)4x時(shí)等號成立，此時(shí)a4x2，由已知x3時(shí)函數(shù)取得最小值，所以a4×936.答案：36考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t0)萬元滿足x4(k為常數(shù))如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)(1)將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？自主解答(1)由題意有14，得k3，故x4.故y1.5××x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.基本不等式2×6，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2.5時(shí)等號成立故y27t27.527.5621.5.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2.5時(shí)，等號成立，y有最大值21.5.所以2014年的年促銷費(fèi)用投入2.5萬元時(shí)，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元【方法規(guī)律】解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的問題(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求(4)有些實(shí)際問題中，要求最值的量需要用幾個(gè)變量表示，同時(shí)這幾個(gè)變量滿足某個(gè)關(guān)系式，這時(shí)問題就變成了一個(gè)條件最值，可用求條件最值的方法求最值某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，房頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？解：由題意可得，造價(jià)y35 8009005 800(0<x5)，則y9005 800900×2 5 80013 000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x4時(shí)取等號故當(dāng)側(cè)面的長度為4米時(shí)，總造價(jià)最低課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)技巧公式的逆用運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b>0)逆用就是ab2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項(xiàng)技巧和公式等號成立的條件等2個(gè)變形基本不等式的變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)；(2) (a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)3個(gè)注意點(diǎn)利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件來源:(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品