20142015學年度第一學期期中考試高三數學試題 (考試時間：120分鐘 總分160分) 命題人：王鴻、王光華 審題人：孟太、朱善宏注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1. 已知集合，則 2已知角的終邊經過點，則的值是 3. 若等差數列的前5項和，且，則 4曲線在點（1，2）處的切線方程是 5將函數的圖象上每一點向右平移個單位，得函數的圖象，則= 6在平面直角坐標系中，直線與圓相交于兩點， 則線段的長度為 .7. 不等式的解集為 .8. 已知，且，則的值為 9. 在中，“”是“”的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 10如圖，已知正方形的邊長為3，為的中點，與交于點，則 11設，已知在約束條件下，目標函數的最大值為，則實數的值為 . （第10題圖）12已知等比數列的首項，其前四項恰是方程 的四個根，則 .13已知圓C：，點P在直線l：上，若圓C上存在兩點A、B使得，則點P的橫坐標的取值范圍是 14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數的圖像從左至右相交于點A、B ，直線與函數的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長度分別為a 、b ，則當變化時，的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值16設，函數（）已知是的導函數，且為奇函數，求的值；（）若函數在處取得極小值，求函數的單調遞增區(qū)間。ABCDEFMNG第17題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一個水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，且中，經測量得到為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄設計時經過點作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場（）假設，試將五邊形的面積表示為的函數，并注明函數的定義域；（）問：應如何設計，可使市民健身廣場的面積最大？并求出健身廣場的最大面積18. 已知圓：，點是直線：上的一動點，過點作圓M的切線、，切點為、（）當切線PA的長度為時，求點的坐標；（）若的外接圓為圓，試問：當運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；（）求線段長度的最小值19.若數列滿足：對于，都有（為常數），則稱數列是公差為的“隔項等差”數列（）若，是公差為8的“隔項等差”數列，求的前項之和；（）設數列滿足：，對于，都有 求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式； 設數列的前項和為，試研究：是否存在實數，使得成等比數列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由 20. 已知函數，其中（）若，試判斷函數的單調性，并說明理由；（）設函數，若對任意的，總存在唯一的實數，使得成立，試確定實數的取值范圍.高三數學期中試題（教師版）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1.已知集合，則 答案：2已知角的終邊經過點，則的值是 答案： 3. 若等差數列的前5項和，且，則 答案：134曲線在點（1，2）處的切線方程是 答案：5將函數的圖象上每一點向右平移個單位，得函數的圖象，則= 答案： 6在平面直角坐標系中，直線與圓相交于兩點， 則線段的長度為 .答案：47. 不等式的解集為 .答案：8.已知，且，則的值為 答案：9. 在中，“”是“”的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分10如圖，已知正方形的邊長為3，為的中點，與交于點，則 答案： （第10題圖）11設，已知在約束條件下，目標函數的最大值為，則實數的值為 .答案：12已知等比數列的首項，其前四項恰是方程的四個根，則 .答案：13已知圓C：，點P在直線l：上，若圓C上存在兩點A、B使得，則點P的橫坐標的取值范圍是 答案：14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數的圖像從左至右相交于點A、B ，直線與函數的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長度分別為a 、b ，則當變化時，的最小值為 答案：32二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值解：（）因為， 由正弦定理得，所以 4分 （）因為，所以，所以，由余弦定理得，所以8分 所以即 14分16設，函數（）已知是的導函數，且為奇函數，求的值；（）若函數在處取得極小值，求函數的單調遞增區(qū)間。解：（）， 2分 故 ， 為奇函數， ，即 ； 6分 （） 列表如下： 9分 在處取得極小值，在處取得極大值， 由題設，； 12分 所以函數的遞增區(qū)間為 14分ABCDEFMNG第17題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一個水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，且中，經測量得到為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄設計時經過點作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場（）假設，試將五邊形的面積表示為的函數，并注明函數的定義域；（）問：應如何設計，可使市民健身廣場的面積最大？并求出健身廣場的最大面積解：（）作GHEF，垂足為H，因為，所以，因為所以，所以 2分過作交于T，則，所以 7分由于與重合時，適合條件，故,8分（），10分 所以當且僅當，即時，取得最大值2000， 13分答：當時，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為14分18. 已知圓：，點是直線：上的一動點，過點作圓M的切線、，切點為、（）當切線PA的長度為時，求點的坐標；（）若的外接圓為圓，試問：當運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；（）求線段長度的最小值解：（）由題可知，圓M的半徑r2，設P（2b,b），因為PA是圓M的一條切線，所以MAP90,所以MP，解得所以 4分（）設P（2b，b），因為MAP90，所以經過A、P、M三點的圓以MP為直徑，其方程為： 即由， 7分解得或，所以圓過定點 9分（）因為圓方程為 即 圓：，即 得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為： 11分點M到直線AB的距離 13分 相交弦長即： 當時，AB有最小值16分19.若數列滿足：對于，都有（為常數），則稱數列是公差為的“隔項等差”數列（）若，是公差為8的“隔項等差”數列，求的前項之和；（）設數列滿足：，對于，都有 求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式； 設數列的前項和為，試研究：是否存在實數，使得成等比數列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由 解：（）易得數列前項之和 4分（）（）（A） （B）（B）（A）得（） 所以，為公差為2的“隔項等差”數列 6分 當為偶數時， 當為奇數時，； 8分 當為偶數時，； 當為奇數時， 12分 故當時， 由，則，解得所以存在實數，使得成等比數列（） 16分20. 已知函數，其中（）若，試判斷函數的單調性，并說明理由；（）設函數，若對任意大于等于2的實數，總存在唯一的小于2的實數，使得成立，試確定實數的取值范圍.解：（）為減函數。理由如下：因為，由于，且，所以，從而函數為減函數。（亦可先分別用定義法或導數法論證函數和在上單調遞減，再得函數為單調減函數。） 5分（）若時，；時。所以不成立. 7分若時，所以在單調遞減.從而，即. 9分(a)若時，.所以在上單調遞增，從而，即.要使成立，只需，即成立即可.由于函數在上單調遞增，且，所以. 11分(b)若時，所以在上單調遞增，在上單調遞減.從而，即. 13分要使成立，只需成立，即成立即可.由，得.故當時，恒成立.綜上所述，. 16分