高考大題增分專項六高考大題增分專項六高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例-2-從近五年的高考試題來看,在高考的解答題中,對概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例的考查主要有三個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,以實際生活中的事例為背景,通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷,其中回歸分析、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力;二是統(tǒng)計與概率綜合,以現(xiàn)實生活為背景,利用頻率估計概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;三是古典概型的綜合應(yīng)用,以現(xiàn)實生活為背景,求某些事件發(fā)生的概率,常與抽樣方法、莖葉圖等統(tǒng)計知識交匯考查.-3-題型一題型二題型三題型四題型五已知樣本的頻率分布表或樣本的頻率分布直方圖,求樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征.由于每個樣本的具體值不知道,只知道各區(qū)間上的端點值,這時取區(qū)間兩端數(shù)據(jù)的平均值作為樣本的具體值,求樣本的數(shù)字特征.-4-題型一題型二題型三題型四題型五例1(2016四川,文16)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.-5-題型一題型二題型三題型四題型五(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由;(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).解(1)由頻率分布直方圖,可知月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.5=0.04.同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30.-6-題型一題型二題型三題型四題型五(2)由(1),100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以2x2.5.由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.-7-題型一題型二題型三題型四題型五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:-8-題型一題型二題型三題型四題型五(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?-9-題型一題型二題型三題型四題型五解 (1) -10-題型一題型二題型三題型四題型五(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 =800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.-11-題型一題型二題型三題型四題型五-12-題型一題型二題型三題型四題型五例2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.-13-題型一題型二題型三題型四題型五(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?-14-題型一題型二題型三題型四題型五-15-題型一題型二題型三題型四題型五-16-題型一題型二題型三題型四題型五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.-17-題型一題型二題型三題型四題型五-18-題型一題型二題型三題型四題型五-19-題型一題型二題型三題型四題型五在統(tǒng)計中,一般通過計算現(xiàn)實生活中某事件的頻率,從而用來估計事件的概率,然后用概率計算其他事件的數(shù)量.例3某公司為了了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖-20-題型一題型二題型三題型四題型五(1)在下圖中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖-21-題型一題型二題型三題型四題型五(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大?說明理由.-22-題型一題型二題型三題型四題型五解(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.-23-題型一題型二題型三題型四題型五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(2016湖北七市3月聯(lián)合調(diào)研)某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購物者進(jìn)行調(diào)查,這1 000名購物者2015年網(wǎng)上購物金額(單位:萬元)均在區(qū)間0.3,0.9內(nèi),樣本分組為:0.3,0.4),0.4,0.5),0.5,0.6),0.6,0.7),0.7,0.8),0.8,0.9,購物金額的頻率分布直方圖如下:-24-題型一題型二題型三題型四題型五電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券,其金額(單位:元)與購物金額關(guān)系如下:(1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù);(2)以這1 000名購物者購物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率,求一名購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率. -25-題型一題型二題型三題型四題型五解 (1)購物者購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布表如下:這1 000名消費(fèi)者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為500.4+1000.3+1500.28+2000.02=96,(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對應(yīng)關(guān)系,可知P(y=150)=P(0.6x0.8)=(2+0.8)0.1=0.28,P(y=200)=P(0.8x0.9)=0.20.1=0.02,從而,獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為P(y150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3.-26-題型一題型二題型三題型四題型五在求古典概型的概率時,常常應(yīng)用列舉法找出可能結(jié)果數(shù)及所求事件包含可能結(jié)果數(shù).列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、樹狀圖等.-27-題型一題型二題型三題型四題型五例4(2016湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)襄陽市某優(yōu)質(zhì)高中為了選拔學(xué)生參加“全國中學(xué)生英語能力競賽(NEPCS)”,先在本校進(jìn)行初賽(滿分150分),若該校有100名學(xué)生參加初賽,并根據(jù)初賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,計算這100名學(xué)生參加初賽成績的中位數(shù);(2)該校推薦初賽成績在110分以上的學(xué)生代表學(xué)校參加競賽,為了了解情況,在該校推薦參加競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求選取的兩人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率.-28-題型一題型二題型三題型四題型五解(1)設(shè)初賽成績的中位數(shù)為x,則(0.001+0.004+0.009)20+0.02(x-70)=0.5,解得x=81,故初賽成績的中位數(shù)為81.(2)該校學(xué)生的初賽分?jǐn)?shù)在110,130)有0.00220100=4(人),分別記為A,B,C,D;分?jǐn)?shù)在130,150有0.00120100=2(人),分別記為a,b.在這6人中隨機(jī)選取2人,總的可能結(jié)果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)共15個,其中符合題設(shè)條件的可能結(jié)果有8個.故選取的兩人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率為-29-題型一題型二題型三題型四題型五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(2016山西太原一模)某工廠對一批共50件的機(jī)器零件進(jìn)行分類檢測,其質(zhì)量(單位:克)統(tǒng)計如下:規(guī)定質(zhì)量在82克及以下的為甲型,已知該批零件有甲型2件.(1)從該批零件中任選1件,若選出的零件質(zhì)量在95,100內(nèi)的概率為0.26,求m的值;(2)從質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率.-30-題型一題型二題型三題型四題型五解 (1)因為從該批零件中任選1件,選出的零件質(zhì)量在95,100內(nèi)的概率為0.26,所以n=500.26=13,所以m=50-5-12-13=20.(2)質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,甲型有2件,分別記作a,b;剩下的3件分別記作c,d,e.從質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,總的可能結(jié)果為ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種,其中恰有1件為甲型包含的可能結(jié)果個數(shù)為6,-31-題型一題型二題型三題型四題型五需要代入的量比較多,且公式中兩類數(shù)據(jù)錯綜復(fù)雜,容易代錯,運(yùn)用列表法列出需要的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)依據(jù)公式進(jìn)行合并,減少了代入公式量的個數(shù),再代入公式求解運(yùn)算的準(zhǔn)確性高.-32-題型一題型二題型三題型四題型五例5某工廠有25周歲及以上的工人300名,25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲及以上”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.25周歲及以上組25周歲以下組-33-題型一題型二題型三題型四題型五(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?-34-題型一題型二題型三題型四題型五解(1)由已知得,樣本中有25周歲及以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有400.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機(jī)抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,分別是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,分別是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率為-35-題型一題型二題型三題型四題型五(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲及以上組”中的生產(chǎn)能手有600.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有400.375=15(人),據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:因為1.792.706,所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下不能推斷“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.-36-題型一題型二題型三題型四題型五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練5微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間不超過一小時的有60人,其余每天使用微信在一小時以上,若將員工年齡分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,使用微信的人中75%是青年人,若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,經(jīng)常使用微信的員工中 是青年人.(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出22列聯(lián)表.22列聯(lián)表 -37-題型一題型二題型三題型四題型五(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?(3)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”中抽取6人,從這6人中任選2人,求選出的2人均是青年人的概率.-38-題型一題型二題型三題型四題型五解 (1)由已知可得,該公司員工中使用微信的共2000.9=180(人).經(jīng)常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有120 =80(人).使用微信的青年人共有18075%=135(人).所以可列下面22列聯(lián)表:-39-題型一題型二題型三題型四題型五(2)將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式可得所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”.(3)從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人中,青年人有 6=4人,中年人有2人.設(shè)4名青年人編號分別為1,2,3,4,2名中年人編號分別為5,6,則“從這6人中任選2人”的可能結(jié)果為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15個.設(shè)“選出的2人均是青年人”為事件A,則事件A包含的可能結(jié)果為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6個.故P(A)=-40-解決概率與統(tǒng)計相結(jié)合的綜合問題,讀懂題意是關(guān)鍵,能從題目的統(tǒng)計背景中抽取有關(guān)概率的相關(guān)信息,然后將信息轉(zhuǎn)化為概率試驗中的基本關(guān)系,按照求某事件概率的方法,計算試驗的可能結(jié)果數(shù)和所求事件包含的可能結(jié)果數(shù),進(jìn)而依據(jù)古典概型的概率公式求解.