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1、 溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 課時提升作業(yè)(四十一) 一、選擇題 1.在用數(shù)學歸納法證明凸n邊形內(nèi)角和定理時，第一步應驗證( ) (A)n＝1 時成立 (B)n＝2 時成立 (C)n＝3 時成立 (D)n＝4 時成立 2.已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設n=k(k≥2且為偶數(shù))時命題為真，則還需證明( ) (A)n＝k＋1 時命題成立 (B)n＝k＋2 時命題成立 (C)n＝2k＋2 時命題成立 (D)n＝2(k＋2)時

2、命題成立 3.某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N+)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得( ) (A)n＝6時該命題不成立 (B)n＝6時該命題成立 (C)n＝4時該命題不成立 (D)n＝4時該命題成立 4.用數(shù)學歸納法證明不等式(n∈N+)成立，其初始值至少應取( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 5.(20xx寶雞模擬)用數(shù)學歸納法證明：時，由k到k+1左邊需增添的項是( ) (A) (B) (C) (D) 6.用數(shù)學歸納法證明(n≥n0,n0∈N

3、*)，則n的最小值等于 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.(20xx南昌模擬)對于不等式

4、整除，則m的最大值為( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空題 9．(20xx洛陽模擬)用數(shù)學歸納法證明＜n(n∈N+,n＞1)時，第一步應驗證的不等式是___________. 10.(20xx上海模擬)用數(shù)學歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)，從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為______. 11.若數(shù)列{an}的通項公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn＝_______. 12．已知f(n)=(n∈N+)，用數(shù)學歸納法證明f(2n)>時，

5、f(2k+1)-f(2k)等于________. 三、解答題 13.(20xx佛山模擬) 用數(shù)學歸納法證明： 14.(20xx合肥模擬)設f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+). (1)求x2,x3,x4的值. (2)歸納{xn}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明. 15.(能力挑戰(zhàn)題)設f(n)=1++…+.是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]對于n≥2的一切正整數(shù)都成立？證明你的結(jié)論. 答案解析 1.【解析】選C.凸多邊形至少有三邊，所以應驗證n＝3 時成立.

6、2.【解析】選B.因n 是正偶數(shù)，故只需證命題對所有正偶數(shù)都成立，因k的下一個偶數(shù)是k+2，故選B. 3.【解析】選C.由n＝k(k∈N+)成立，可推得當n＝k＋1時該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現(xiàn)知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立. 4.【思路點撥】用等比數(shù)列的前n項和求出不等式的左邊，解不等式即可得到初始值. 【解析】選B.，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應取8. 5.【解析】選D.左邊需添加的式子為 6.【解析】選C.當n=1時，左邊==1，右邊=11=1，不等式不成立；當n=2時，左邊= =3，右邊=，不等式不成立，當n=3時，左邊=7，右

7、邊=9，不等式成立，當n=4時，左邊=15，右邊=＞16,不等式成立，所以n的最小值等于3. 7.【解析】選D.從n=k到n=k+1的推理時沒有運用歸納假設，因此證明不正確. 8.【思路點撥】先求出當n=1,2,3時f(n)的值，由此猜想m的最大值，再用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立. 【解析】選B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當n=1時，可知猜想成立.假設當n=k(k≥1,k∈N+)時，猜想成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除；當n=k+1時，f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=(2k+7

8、)3k+9+36(k+5)3k-2，因此f(k+1)也能被36整除，故所求m的最大值為36. 9．【解析】由條件知n的第一個值為2，所以第一步應驗證的不等式是＜2. 答案：＜2 10.【解析】當n=k時，左邊為(k+1)(k+2)…(k+k),而當n=k+1時，左邊為(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，∴左邊增乘的式子為 =2(2k+1). 答案：2(2k+1) 11.【解析】c1＝2(1－a1)＝2(1－)＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2(1－)(1－)＝， c3＝2(1－a1)

9、(1－a2)(1－a3)＝2(1－)(1－)(1－)＝，故由歸納推理得cn＝. 答案： 12．【解析】f(2k+1)-f(2k) = = 答案： 13.【證明】①當n＝1時，左邊＝，右邊= 左邊＝右邊，等式成立； ②假設n＝k(k≥1,k∈N+)時，等式成立， 即 當n＝k＋1時，左邊 所以當n＝k＋1時，等式成立． 由①②可得對任意n∈N+，等式成立． 14.【解析】(1)x2=f(x1)=,x3=,x4=f(x3)=. (2)歸納xn=. 證明:①當n=1時，x1=與已知相符, ②假設當n=k(k≥1，k∈N+)時，xk=, 當n=k+1時，xk+1=

10、. 由①②可知當n∈N+時成立， ∴xn=. 15.【解析】當n=2時，得g(2)=2，當n=3時，得g(3)=3，猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).用數(shù)學歸納法證明猜想成立. (1)當n=2時，左邊=f(1)=1，右邊=2[f(2)-1]=1，左邊=右邊，所以等式成立. (2)假設當n=k(k≥2,k∈N+)時等式成立， 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=g(k)[f(k)-1]， 那么當n=k+1時， f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)-]-k =(k+1)[f(

11、k+1)-1], 也就是說當n=k+1時等式也成立.由(1)(2)可知，等式對n≥2的一切正整數(shù)都成立. 故存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)g(n)=n，使等式對n≥2的一切正整數(shù)都成立. 【變式備選】已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較與1的大小，并說明理由． 【解析】＜1. 理由如下： ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. 令g(x)=(x+1)2-1,則函數(shù)g(x)＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上是增加的，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進而得a3≥(a

12、2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想： ①當n＝1時，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設n＝k(k≥1且k∈N+)時結(jié)論成立，即ak≥2k－1，則當n＝k＋1時，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上是增加的知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②知，對任意n∈N+，都有an≥2n－1， 即1＋an≥2n，∴， ∴≤＝=1－()n＜1. 【方法技巧】“歸納—猜想—證明”類問題的一般解題思路 通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法證明．這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應用，其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式.核心是數(shù)學歸納法證明，體現(xiàn)了探索數(shù)學未知問題的一般方法，是必須要具備的一種思維方式. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊。