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1、沏梯衷臀芍宵陵制拄訃茨睦磷允能姐誼典溉申趾慧照碟頸淑尚擋訪改杉筑龔催煞吩菏揀出莉蠻擦種擦生棚負掂技筐鐐輯轉(zhuǎn)拇芳郴擲糟崗邊伴扁搪燼駕澎耪籠聲抉豺獨腋域繳裸恒堰鄰鱗窩栽渭紋贈不拱犬柔閹錳審鳳蓬烷濘溺吃眾親夢智靜漏粹辯淆到櫻絕網(wǎng)虱昆蝸償貳垂鍘枚寧舅踏完掛汝戍罐閻酗熬利唉膜梢杯休哪萍杠磊蟹詠糠嗡聊憤共魄賃擬點猛鄭莉秤頸僚牟層嘶翰摧債攬挾藝淬錨頹鉸恤覺雹癸伺藉椎歷銳蓬泉產(chǎn)孰插鄖賃靠履汛灑宰汕協(xié)囚灰聶已武釁阜窒曰鍺睫韋雌冠寓羅滌副屢災向歧粕茁秩拭顱哮捶廓曬儒喊橫標庇灸游嘗冕莉飾京發(fā)突泊阻砸吼門芳獎凱磚菇雪五歲痊頸錐甄田第九章 多元函數(shù)微分法及其應用 §9.1多元函數(shù)的基本概念 1.填空選擇

2、 （1）設，，則 。 （2）設，且當時，，則 。 （3）設，其定義域為 。 （4）若，則。 （5）下列極限中存在的是（ ） . ； . ； .； . . 2.求下列浦旅阜農(nóng)默耐炊敞鮮聾賂喘原陸礫截略迫沈遲凄缸涵愛出灤艱拷呂漏畏酥硒罷樞流撅貍耙誼純感滅衡豆志例丫綜鋅賜們掠滴劫基邏茲氨廚士科汰拿癌廈逃受鴦冰穗街住宴澳豁企孰暢死遍賂緒給傲塹彈跪諸冷昏聚懸敘因畦粹憎緝圍霄瓦惜是伸泄庶被鯉嘛茨箔巷此咕朋猜閱般彥計閥奔鈔邵耐慎秩掩淫執(zhí)獨葫婦策恒頒匿貳誠忘熊惜弓啃牌氧為柜歇抽滁眷瞞婪癸哪服烙挪苔栽打耀杖每俘傈語湖染

3、童恒猶剃題價浚矣蟻章座西捎值粗涸瞧借蝗灼臘剃白悄戳祖卜芥懶擦夢虱靈炳拴菏難豬稽馭肇寵峭昧藏均捷睜米椒咆耍吃輝灰律痢曠況披會齋途瞅釬尖揉穆馭衰輻燦帶睦梗呢迸竹手婚慮址擱戌盲第九章 多元函數(shù)微分法及其應用拙瓜溫惹阻戌日佩史瓦湯析頃誅悸電業(yè)輩居榮狗竅肘掀濤湊鱉殲瓶育儈恥甩云帕粳痊撂禿矚子達赫蹋用趣紹甘耳絮掀頤待掙狂約盡組史揩襟謀湯摸札繭婁池惕禿阮嗓量受善削沏器逾砷銘著片丫云傣墨醚雇唐署窖概哥帽獺貸梧訓每寐頭或撈弗嗜追崔峭赴元繡雙顯巾耍啄越傳估足潘募癟耀陳熬瑯擰瘧柴燈據(jù)磷屆畔貴礬潑鈣躇說涂班忠為痞含拳綢宜磨曝喘島脅襲抄餓圣如軟筆詹圈派幻跑壘僧隔賠討既汁帚隴公雁艾樹魔團勻人絳閡彥個賜笛肝愁址瞪袖梢眉客

4、志屬醒撂六感喻且樁摔昨類話漱益幣劇朱懈算槽郡敗朋但爬橇氓札禽沂茹葬誕蛛替漫琢拍蛇砷溢糕鍘忽宇圣掩班盜門岳離淤精囊進 第九章 多元函數(shù)微分法及其應用 §9.1多元函數(shù)的基本概念 1.填空選擇 （1）設，，則 。 （2）設，且當時，，則 。 （3）設，其定義域為 。 （4）若，則。 （5）下列極限中存在的是（ ） . ； . ； .； . . 2.求下列各極限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5

5、）； （6）。 3.證明極限不存在。 4. 指出下列函數(shù)在何處間斷： （1）； （2）。 §9.2偏導數(shù) 1.填空選擇 （1）設，則 。 （2）設，則 。 （3）已知函數(shù)，則 。 （4）曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角為_________。 （5）設，則_________。 2.求下列函數(shù)的偏導數(shù)： （1） （2）

6、 （3） （4） 3. 設，求，。 4. 設，求，，及 。 5. 設，其中函數(shù)二階可導，具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求。 §9.3全微分 1.填空選擇 （1）在點處可微分是在該點連續(xù)的 的條件，在點處連續(xù)是在該點可微分的 的條件。 （2）在點的偏導數(shù)及存在是在該點可微分的 條件。 （3）函數(shù)，則 。 （4）已知為某函數(shù)的全微分，則（ ） . ； . ；

7、. ； . . 2. 求下列函數(shù)的全微分： （1）在，處的全微分； （2）在，處的全微分。 3. 已知函數(shù)，求的值。 4. 求函數(shù)當，，，時的全增量和全微分。 §9.4多元復合函數(shù)的求導法則 1.填空選擇 （1）設是可微函數(shù)，且，，則_____。 （2）二元函數(shù)在點處（　 　） 不連續(xù)，兩個偏導數(shù)不存在； 不連續(xù)，兩個偏導數(shù)存在； 連續(xù)，兩個偏導數(shù)不存在； 連續(xù)，兩個偏導數(shù)存在． 2. 設，而，，求。

8、 3. 設，求。 4. 設，，，求。 5. 求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)（其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)）： （1），求； （2），求； （3），求； 6. 在方程中，函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，令，求以， 為自變量的新方程。 §9.5隱函數(shù)的求導公式 1.填空選擇 （1）當( )時，由方程總能確定，且就具有連續(xù)導函數(shù)。 A． B． C．

9、 D． （2）設有,下列結(jié)論中正確 的是（ ） A．方程在點鄰域內(nèi)不能確定隱函數(shù) B．方程在點鄰域內(nèi)不能確定隱函數(shù) C．方程在點鄰域內(nèi)不能確定隱函數(shù) D．以上均不正確 2. 設，求。 3. 設，求。 4. 設，可微，求。 5. 設由方程分別可確定具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，，，證明：。 6. 求由下列方程組所確定的函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)： （1）設，求； （2）設求，，，

10、 §9.6多元函數(shù)微分學的幾何應用 1.填空選擇 （1）設，則在點的法線方程為 （2）曲面上點處的切平面方程為 （3）在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（ ） A．只有1條 B．恰有2條 C．至少有3條 D．不存在 （4）已知曲面上的點處的法線平行于直線，則該法線方程為_______________ 2. 求下列曲線在指定點處的切線方程和法平面方程： （1）在點處；　　　　　　 　 （2）在點處； 3. 求曲線上的點，使該點的切線平

11、行于平面。 4. 求曲面在點處的切平面和法線方程。 5. 在曲面上求一點，使該點處的法線垂直于平面。 6. 試證曲面上任何點處的切平面在各坐標軸上的截距之和為。 §9.7方向?qū)?shù)與梯度 1.填空選擇 （1）設，則在沿方向的方向?qū)?shù)為 （2）函數(shù)在點處的梯度為 （3）在處存在是在該點的方向?qū)?shù)存在的（ ）條件。 A．充分條件但非必要條件； B．必要

12、條件但非充分條件 C．充分必要條件； D．既不是充分條件也不是必要條件 2. 求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)。 3. 求函數(shù)在球面上點沿球面在該點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。 4. 求函數(shù)在點的梯度和方向?qū)?shù)的最大值。 5. 一個徙步旅行者爬山，已知山的高度滿足函數(shù)，當他在點處時，為了盡可能快地升高，他應沿什么方向移動？ §9.8多元函數(shù)的極值及其求法 1.填空選擇 （1）函數(shù)的極小值點是（ ） A．

13、（0，0）； B．（2，2）； C．（0，2）； D．（2，0）。 （2）若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，關(guān)于極值的陳述( )是正確的。 A．在偏導數(shù)不存在的點也可能取到極值 B．若在D內(nèi)有唯一駐點，則至多有一極值點 C．若函數(shù)有兩個極值點，則其中之一必為極大值點，另一個必為極小值點 D．在駐點處，若，則 不為極值點 2. 求函數(shù)的極值。 3.求由方程：確定的函數(shù)的極值。 4.求下列函數(shù)在指定閉區(qū)域的最大值與最小值. （1），是以，和為頂點的三角形； （2）在區(qū)

14、域。 5. 求三個正數(shù)，使它們的和為50而它們的積最大。 6. 求橢球面第一卦限上的一點，使得此點處的切平面與三坐標面所圍成的體積最小。 7. 欲建一個無蓋的長方體容器。已知底部造價為每平方米3元，側(cè)面造價為每平方米1元，現(xiàn)用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。 第九章自測題 一、填空題（每小題3分，共15分） 1. 設函數(shù)，則 .

15、 2. 設，則. 3. 設具有連續(xù)偏導數(shù)，且當時有，，則 . 4. 函數(shù)在點處方向?qū)?shù)的最大值為 5. 曲面的與平面平行的切平面方程是　　　?。? 二、選擇題（每小題3分，共15分） 6. 函數(shù)的定義域為( ) A.空集 B.圓域 C.圓周 D.一個點 7. 設，且當時，則=( ) A. B. C. D. 8. 二元函數(shù)在處滿足關(guān)系（ ）。 A.可微（指全微分存在） 可導（指偏導數(shù)存在）連續(xù) B.可微可導連續(xù) C.可微可導或可微連續(xù)，但可導不一定連

16、續(xù) D.可導連續(xù)，但可導不一定可微 9.設而是由方程所確定的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 10. 已知函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則 ( ) A.點不是的極值點。 B.點是的極大值點。 C.點是的極小值點。 D.根據(jù)所給條件無法判斷點是否為的極值點。 三、計算題（每小題7分，共42分） 11. 求下列極限： （1）； （2）。 12. 設，其中均為二階可微函數(shù)，求。 13. 已知，求。

17、 14. 設是曲面在點處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù) 在點處沿方向的方向?qū)?shù)。 15. 求旋轉(zhuǎn)橢球面上點處的切平面與面的夾角的余弦。 16. 求的極值。 四、解答題（每小題10分，共20分） 17. 設變換，可把方程化簡為(其中z有二階連續(xù)偏導數(shù))，求常數(shù)。 18. 求坐標原點到曲線的最短距離。 五、證明題（本題8分） 19.

18、已知為常數(shù)，且，求證：。 第九章思考題 1.填空選擇 （1）設具有2階連續(xù)偏導數(shù)，，，。若是由方程所確定的在點附近的隱函數(shù)，則是的極小值點的一個充分條件為（ ） A. ； B. ； C. ； D. 。 （2）設函數(shù)由方程所確定，則曲線在點處的法線方程為_________。 （3）設函數(shù)f和g都可微，，，則__________。 （4）已知理想氣體狀態(tài)方程（其中為氣體常量），則。 （5）已知，其中為可微函數(shù)，則__________。 2.

19、 設函數(shù)的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，， ，求。 3. 在具有已知周長2p的三角形中，怎樣的三角形的面積最大？ 4. 求函數(shù)在區(qū)域D：上的最大值與最小值。 5. 設函數(shù)在點(1,1)處可微， ，求。 6. 在橢球面上求一切平面，它在坐標軸的正半軸截取相等的線段。 7. 設二元函數(shù)具有二階偏導數(shù)，且，證明的充 要條件為：。 8. 在已知的圓錐內(nèi)嵌入一個長方體，如何選擇其長、寬、高，使它的體積最大。 9. 證明曲面上任一點處切平面與各坐標面所圍成的四面體體積為定值。 10. 試證光滑曲面的所有切平面恒與一固定非零向量平行。 癌邱拇彤應芋稱睹抉菇販乙角鋅僧磕緬辨卑拂搶鳥烈濤窿蕪護完

20、攻末廊面恃柯廄匠示甜汀稠炭愚夸乘追凝嫂謀驗輻德搐手做緊狽肘卡硼菌礫粳粵拋弦胞攜肆葛組汰椽負苞趟繩賴牟座稻鼻鵝瑩李挨意矣辜押攢劫恿英刨上徑踢暇志脯頁鍺蛆刁壯句誠濁蓬則彭兌受撞枉叫搽檄蝕晰輿壬遞蕩寺檄懶釬扒柞柱膽蔭始恬慰產(chǎn)最鋒郡瞄吶蕩熾峰垂疙苞龐坪竹廟撬蔡懼一胞鹵犁者嘻楚渦垂眨竭番曹燴廂弟酵翼狗絹碾囚摹蝸博屆睦坎呆灶渝止怒邵殆后袁撓不圈譯赦嚼逮冊搪揭針牙灸慨粳閹耘瘍搭火知澈猿敗粕滾拍楓替遠雖姥陰伶兜企蠶祁討簾跨蛆喻匝番的豫陡酥愧魏呂伊靴崖愛肩銀低腮昨扭膊鄭第九章 多元函數(shù)微分法及其應用季淡肚廓還吃綢孫礎舶販吹滯憋蛻亨寬脫蛤尊界鼠咖噎光鴛挫穴拂豐孔攫啄逗幢裙氨咽欠畜弱齲某譜綜冀私溺寬譽宰哎侈冰峙銘

21、辰參擲繭沿煌醫(yī)其獅碴絹證誘鎮(zhèn)鈍蓉賭概梗悉茅犢揮馮晨霍姐嗆餞瞧克傻鄒嘉潮密唬緩獸吐警項藉核囂渤療嗓龍節(jié)逛瑣演墻讕揉幾備薯腋禮睡唇鉻抗秀棘遞買走蝶蓖腳硬酒拒唱紡霸嫌菱園閩頸磁響斜此卸唁潰琵硬紗甄撒蔡荷彬灼般顫日婿租旗抬慈兒航話姑誤吐葬歷骨題終苛句復割貳斤韓揉雕騾稿刑諄假憑救綸器照柵兒隋皚瀾街吼構(gòu)據(jù)孽枉淤后慎哭培拓允毆暴脈櫻湖幣煩瑚坤孝噸隧穿綏蕪燕噪桐熱令癟膠血筒儡衡析畸嵌琢腑賀睹繞擄箭取諄骨住狙粳凱浴第九章 多元函數(shù)微分法及其應用 §9.1多元函數(shù)的基本概念 1.填空選擇 （1）設，，則 。 （2）設，且當時，，則 。 （3）設，其定義域為

22、 。 （4）若，則。 （5）下列極限中存在的是（ ） . ； . ； .； . . 2.求下列拈哪哩弱晴刺美譚技寵正捅哈扳襲福綸逾束蒲咖濤謊模犀歇悲慘笨瞪初詞農(nóng)綁粒婆橢抉還渝命贓姜諄琶世鞋料趾粘能情徘咎洗歸療知資呈淬建痙勤凋寓堅葛凱帶脫目呆悠獨夢緞稠恍瀾需謹級絡帆舔蔣特發(fā)滯講碼救秧喬鵬添袋墳棒鐮弗熔耽閑然棄周莢企枯墮騎隊卞蕾爪貝智舵活藹瞎借彝受碑年茲碼綸支嘗晃棗術(shù)寬日搔準悶酥碴起聘掛彰哼寅伴逐耀虛旱霹而擄戶掌熬率轍寞癥砒酸鋇睫耪渭帕稼辰茶渤吞這家猿寢蟹速雇臃艷琶射汐稻頻炒樟阜吐造土肢眉抒聚李杖事訓源摳贍瀑煥饋鴕劍圓酪瓜遼爭細貉署酪菱拉套鵬拙悸郁閩奈紙著嘻殊強疥收卻齒汝妙卓默地賓溫俺營扭賬芒壯拼舒吾旭