課時作業(yè) 一、選擇題 1數列an是公差不為 0 的等差數列，且 a1，a3，a7為等比數列bn中連續(xù)的三項，則數列bn的公比為 ( ) A. 2 B4 C2 D.12 C 設數列an的公差為 d(d0)，由 a23a1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故數列bn的公比 qa3a1a12da12a1a12. 2已知等差數列an的前 n 項和為 Sn，S936，S13104，等比數列bn中，b5a5，b7a7，則 b6的值為 ( ) A4 2 B4 2 C4 2 D無法確定 A 依題意得，S99a536b5a54，S1313a7104b7a78，所以 b6 4 2. 3 已知數列an，bn滿足 a11 且 an，an1是函數 f(x)x2bnx2n的兩個零點，則 b10等于 ( ) A24 B32 C48 D64 D 依題意有 anan12n， 所以 an1an22n1， 兩式相除得an2an2.所以 a1， a3，a5， 成等比數列， a2， a4， a6， 也成等比數列， 而 a11， a22.所以 a102 2432，a111 2532.又因為 anan1bn，所以 b10a10a1164. 4.在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數后，每一行成等差數列，每一列成等比數列，那么 xyz 的值為 ( ) A1 B2 C3 D4 B 由題知表格中第三列中的數成首項為 4，公比為12的等比數列，故有 x1.根據每行成等差數列得第四列前兩個數字依次為 5，52，故第四列的公比為12，所以 y512358，同理 z612438，故 xyz2. 5(20 xx 蘭州名校檢測)已知函數 f(x)是定義在(0，)上的單調函數，且對任意的正數 x，y 都有 f(x y)f(x)f(y)，若數列an的前 n 項和為 Sn，且滿足 f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)，則 an ( ) A2n1 Bn C2n1 D(32)n1 D 由題意知 f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)， Sn23an，Sn123an1(n2)，兩式相減得， 2an3an1(n2)， 又 n1 時，S123a1a12，a11， 數列an是首項為 1，公比為32的等比數列， an(32)n1. 6已知數列an滿足 3an1an4 且 a19，其前 n 項之和為 Sn，則滿足不等式|Snn6|1125的最小整數 n 是 ( ) A5 B6 C7 D8 C 由遞推式變形得 3(an11)(an1)， 則 an1813n1， 所以|Snn6|a11a21an16| 8113n1136613n250，所以滿足條件的最小整數 n 是 7. 二、填空題 7等比數列an的前 n 項和為 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差數列，則等比數列an的公比為_ 解析 設等比數列an的公比為 q(q0)， 由 4S2S13S3， 得 4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)， 即 3q2q0，故 q13. 答案 13 8(20 xx 大同四校聯(lián)考)已知向量 a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中 Sn是數列an的前 n 項和， 若 ab， 則數列anan1an4的最大項的值為_ 解析 依題意得 a b0， 即 2Snn(n1)，Snn（n1）2. 當 n2 時，anSnSn1n（n1）2n（n1）2n； 又 a1S11（11）21， 因此 ann，anan1an4n（n1）（n4）nn25n4 1n4n519， 當且僅當 n4n，nN*，即 n2 時取等號， 因此數列anan1an4的最大項的值是19. 答案 19 9在數列an中，若 a2na2n1p(n2，nN*，p 為常數)，則稱an為“等方差數列” 下列是對“等方差數列”的判斷： 若an是等方差數列，則a2n是等差數列； 已知數列an是等方差數列，則數列a2n是等方差數列 (1)n是等方差數列； 若an是等方差數列，則akn(kN*，k 為常數)也是等方差數列； 其中正確命題的序號為_ 解析 對于，由等方差數列的定義可知，a2n是公差為 p 的等差數列，故正確對于，取 an n，則數列an是等方差數列，但數列a2n不是等方差數列，故錯對于，因為(1)n2(1)n120(n2，nN*)為常數，所以(1)n是等方差數列，故正確對于，若 a2na2n1p(n2，nN*)，則 a2kna2k（n1）(a2kna2kn1)(a2kn1a2kn2)(a2knk1a2k（n1）)kp 為常數，故正確 答案 三、解答題 10已知數列an的前 n 項和為 Sn，且 Snn2，數列bn為等比數列，且首項 b11，b48. (1)求數列an，bn的通項公式； (2)若數列cn滿足 cnabn，求數列cn的前 n 項和 Tn； 解析 (1)數列an的前 n 項和為 Sn，且 Snn2， 當 n2 時，anSnSn1n2(n1)22n1. 當 n1 時，a1S11 亦滿足上式， 故 an2n1(nN*) 又數列bn為等比數列，設公比為 q， b11，b4b1q38，q2. bn2n1(nN*) (2)cnabn2bn12n1. Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1) (21222n)n2（12n）12n. 所以 Tn2n12n. 11已知各項均為正數的數列an滿足：a2n12a2nanan1，且 a2a42a34，其中 nN*. (1)求數列an的通項公式； (2)設數列bn滿足：bnnan（2n1）2n，是否存在正整數 m，n(1m0，所以 2anan10，即 2anan1. 所以數列an是公比為 2 的等比數列 由 a2a42a34，得 2a18a18a14， 解得 a12. 故數列an的通項公式為 an2n(nN*) (2)因為 bnnan（2n1）2nn2n1， 所以 b113，bmm2m1，bnn2n1. 若 b1，bm，bn成等比數列，則m2m1213n2n1， 即m24m24m1n6n3. 由m24m24m1n6n3，可得3n2m24m1m2， 所以2m24m10，從而 162m1，所以 m2，此時 n12. 故當且僅當 m2，n12 時，b1，bm，bn成等比數列 12設同時滿足條件：bnbn22bn1；bnM(nN*，M 是常數)的無窮數列bn叫“嘉文”數列已知數列an的前 n 項和 Sn滿足 Snaa1(an1)(a 為常數，且 a0，a1) (1)求數列an的通項公式； (2)設 bn2Snan1，若數列bn為等比數列，求 a 的值，并證明數列1bn為“嘉文”數列 解析 (1)因為 S1aa1(a11)a1，所以 a1a. 當 n2 時，anSnSn1aa1(anan1)， 整理得anan1a， 即數列an是以 a 為首項，a 為公比的等比數列 所以 ana an1an. (2)由(1)知， bn2aa1（an1）an1（3a1）an2a（a1）an，(*) 由數列bn是等比數列，則 b22b1b3， 故3a2a233a22a2a2，解得 a13， 再將 a13代入(*)式得 bn3n， 故數列bn為等比數列，所以 a13. 由于1bn1bn2213n13n222 13n13n2213n11bn1，滿足條件； 由于1bn13n13， 故存在 M13滿足條件.故數列1bn為“嘉文”數列