跟蹤強化訓練(十八)一、選擇題1在數(shù)列an中，a11，對于所有的n2，nN都有a1·a2·a3··ann2，則a3a5()A. B. C. D.解析解法一：令n2,3,4,5，分別求出a3，a5，a3a5，故選A.解法二：當n2時，a1·a2·a3··ann2.當n3時，a1·a2·a3··an1(n1)2.兩式相除得an2，a3，a5，a3a5，故選A.答案A2已知a11，ann(an1an)(nN*)，則數(shù)列an的通項公式是an()An B.n1Cn2 D2n1解析由ann(an1an)，得，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以1，所以ann，故選A.答案A3已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a1·a2·a3··a20xx()A6 B6 C2 D2解析a12，an1，a23，同理，a3，a4，a52，an4an，a1a2a3a41，a1·a2·a3··a20xx(a1a2a3a4)504×a11×22.故選D.答案D4(20xx·衡水中學二調)已知Sn是數(shù)列an的前n項和，a11，a22，a33，數(shù)列anan1an2是公差為2的等差數(shù)列，則S25()A232 B233 C234 D235解析數(shù)列anan1an2是公差為2的等差數(shù)列，an3an(an1an2an3)(anan1an2)2，a1，a4，a7，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，a2，a5，a8，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，a3，a6，a9，是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，S25(a1a4a7a25)(a2a5a8a23)(a3a6a9a24)9×18×28×3233，故選B.答案B5(20xx·鄭州模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則下列一定成立的是()A若a3>0，則a20xx<0B若a4>0，則a20xx<0C若a3>0，則S20xx>0D若a4>0，則S20xx>0解析根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得a20xxa1·q20xxa3q20xx，a20xxa1q20xxa4q20xx，易知A，B錯誤對于選項C，因為a3a1q2>0，所以a1>0，當q>0時，任意an>0，故有S20xx>0；當q<0時，仍然有S20xx>0，C正確對于選項D，可列舉公比q1的等比數(shù)列1，1，1,1，顯然滿足a4>0，但S20xx0，故D錯誤故選C.答案C6(20xx·山西大同模擬)已知數(shù)列an的通項公式為an(1)n(2n1)·cos1(nN*)，其前n項和為Sn，則S60()A30 B60 C90 D120解析由題意可得，當n4k3(kN*)時，ana4k31；當n4k2(kN*)時，ana4k268k；當n4k1(kN*)時，ana4k11；當n4k(kN*)時，ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8，S608×15120.答案D二、填空題7已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn1)n1(nN*)，則an_.解析由已知可得Sn12n1，則Sn2n11.當n1時，a1S13，當n2時，anSnSn12n112n12n，因為n1時不滿足an2n，故an答案8(20xx·河南新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列an1an是等比數(shù)列，且a11，a22，a35，則an_.解析a2a11，a3a23，q3，an1an3n1，ana1a2a1a3a2an1an2anan1133n2，a11，an.答案9(20xx·安徽省淮北一中高三最后一卷改編)若數(shù)列an滿足d(nN*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列an為“調和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調和數(shù)列”，且b1b2b20xx20xx0，則b2b20xx的最大值是_解析因為數(shù)列是“調和數(shù)列”，所以bn1bnd，即數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以b1b2b20xx20xx0，所以b2b20xx20.又>0，所以b2>0，b20xx>0，所以b2b20xx202，即b2b20xx100(當且僅當b2b20xx時等號成立)，因此b2b20xx的最大值為100.答案100三、解答題10(20xx·鄭州質檢)已知數(shù)列an的首項a11，前n項和Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知條件得1(n1)×22n1，Sn2n2n.當n2時，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.當n1時，a1S11，而4×131，an4n3.(2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3)，當n為偶數(shù)時，Tn1591317(4n3)4×2n，當n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，Tn11(20xx·北京海淀模擬)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)Sn2ana1，當n2時，Sn12an1a1，an2an2an1，化為an2an1.由a1，a21，a3成等差數(shù)列得，2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得a12.數(shù)列an是等比數(shù)列，首項為2，公比為2.an2n.(2)an12n1，Sn2n12，Sn12n22.bn.數(shù)列bn的前n項和Tn.12.(20xx·山東卷)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解(1)設數(shù)列xn的公比為q，由已知知q>0.由題意得所以3q25q20.因為q>0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1.(2)過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，由題意bn×2n1(2n1)×2n2，所以Tnb1b2bn3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2，2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1.得Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1(2n1)×2n1.所以Tn.