題型練6大題專項(xiàng)(四)立體幾何綜合問題1.如圖,已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形.A1A=6,且A1A底面ABCD.點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點(diǎn),證明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為37,求四面體ADPQ的體積.2.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC所成角為60,AA1=2,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,點(diǎn)G為ABC的重心,點(diǎn)E在BC1上,且BE=13BC1.(1)求證:GE平面AA1B1B;(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的余弦值.3.如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).(1)求證:GF平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.4.在如圖所示的組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)長(zhǎng)方體,P-ABCD是一個(gè)四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)P平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)證明:PD平面PBC;(2)求PA與平面ABCD所成角的正切值;(3)當(dāng)AA1的長(zhǎng)為何值時(shí),PC平面AB1D.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)證明:PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30,求AE的長(zhǎng).6.已知四邊形ABCD滿足ADBC,BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中點(diǎn),將BAE沿AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,F為B1D的中點(diǎn).(1)求四棱錐B1-AECD的體積;(2)證明:B1E平面ACF;(3)求平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值.參考答案題型練6大題專項(xiàng)(四)立體幾何綜合問題1.解由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.(1)證明若P是DD1的中點(diǎn),則P0,92,3,PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),于是AB1PQ=18-18=0,所以AB1PQ,即AB1PQ.(2)由題設(shè)知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)n1=(x,y,z)是平面PQD的一個(gè)法向量,則n1DQ=0,n1DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一個(gè)法向量是n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45.而二面角P-QD-A的余弦值為37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此時(shí)Q(6,4,0).設(shè)DP=DD1(0<1),而DD1=(0,-3,6),由此得點(diǎn)P(0,6-3,6),所以PQ=(6,3-2,-6).因?yàn)镻Q平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一個(gè)法向量是n3=(0,1,0),所以PQn3=0,即3-2=0,亦即=23,從而P(0,4,4).于是,將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ,則其高h(yuǎn)=4.故四面體ADPQ的體積V=13SADQh=1312664=24.2.(1)證明連接B1E,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,連接AB1,AF.ABC-A1B1C1是三棱柱,BCB1C1,EFBEB1C1.BE=13BC1,BEEC1=EFEB1=BFB1C1=12,BF=12BC,F是BC的中點(diǎn).點(diǎn)G是ABC的重心,點(diǎn)G在AF上,且GFAG=EFEB1=12,GEAB1,GE平面AA1B1B.(2)解過點(diǎn)A1作A1OAB,垂足為O,連接OC.側(cè)面AA1B1B底面ABC,A1O底面ABC,A1AB=60.AA1=2,AO=1.AB=2,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).又點(diǎn)G是正三角形ABC的重心,點(diǎn)G在OC上,OCAB,A1O底面ABC,A1OOB,A1OOC,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)C,OB,OA所在直線為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意可得:A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),A1(0,0,3),B1(0,2,3),C1(3,1,3),則G33,0,0,BE=13BC1=33,0,33,E33,1,33,GE=0,1,33,B1E=33,-1,-233.設(shè)n=(x,y,z)是平面B1GE的一個(gè)法向量,則nGE,nB1E,y+33z=0,33x-y-233z=0,令z=3,則x=3,y=-1,n=(3,-1,3).易知OA1=(0,0,3)是平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角為,則有cos=OA1n|OA1|n|=217.3.(1)證法一如圖,取AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD,又G是BE的中點(diǎn),所以GHAB,且GH=12AB.又F是CD的中點(diǎn),所以DF=12CD.由四邊形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.證法二如圖,取AB中點(diǎn)M,連接MG,MF.又G是BE的中點(diǎn),可知GMAE.又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分別是AB,CD的中點(diǎn),得MFAD.又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因?yàn)镚MMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因?yàn)镚F平面GMF.所以GF平面ADE.(2)解如圖,在平面BEC內(nèi),過點(diǎn)B作BQEC.因?yàn)锽ECE,所以BQBE.又因?yàn)锳B平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B為原點(diǎn),分別以BE,BQ,BA的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因?yàn)锳B平面BEC,所以BA=(0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1),由nAE=0,nAF=0,得2x-2z=0,2x+2y-z=0,取z=2,得n=(2,-1,2).從而cos<n,BA>=nBA|n|BA|=432=23.所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為23.4.(1)證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長(zhǎng)AA1=a,則D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PDPB=0,PDPC=0.所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和PB,由線面垂直的判定定理,得PD平面PBC.(2)解A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1),所以cos<PA,n1>=-1111=-1111.所以PA與平面ABCD所成角的正弦值為1111.所以PA與平面ABCD所成角的正切值為1010.(3)解因?yàn)镈(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a).設(shè)平面AB1D的法向量為n2=(x,y,z),則有DAn2=3x=0,AB1n2=2y-az=0,令z=2,可得平面AB1D的一個(gè)法向量為n2=(0,a,2).若要使得PC平面AB1D,則要PCn2,即PCn2=a-2=0,解得a=2.所以當(dāng)AA1=2時(shí),PC平面AB1D.5.解如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B-12,12,0,P(0,0,2).(1)證明易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0).于是PCAD=0,所以PCAD.(2)PC=(0,1,-2),CD=(2,-1,0).設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z).則nPC=0,nCD=0,即y-2z=0,2x-y=0.不妨令z=1,可得n=(1,2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos<m,n>=mn|m|n|=16=66,從而sin<m,n>=306.所以二面角A-PC-D的正弦值為306.(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中h0,2.由此得BE=12,-12,h.又CD=(2,-1,0),故cos<BE,CD>=BECD|BE|CD|=3212+h25=310+20h2,所以310+20h2=cos30=32,解得h=1010,即AE=1010.6.(1)解取AE的中點(diǎn)M,連接B1M.因?yàn)锽A=AD=DC=12BC=a,ABE為等邊三角形,所以B1M=32a.又因?yàn)槠矫鍮1AE平面AECD,所以B1M平面AECD,所以V=1332aaasin3=a34.(2)證明連接ED交AC于點(diǎn)O,連接OF,因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形,OE=OD,所以FOB1E,所以B1E平面ACF.(3)解連接MD,則AMD=90,分別以ME,MD,MB1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則Ea2,0,0,Ca,32a,0,A-a2,0,0,D0,32a,0,B10,0,32a,所以EC=a2,32a,0,EB1=-a2,0,3a2,AD=a2,3a2,0,AB1=a2,0,3a2.設(shè)平面ECB1的法向量為u=(x,y,z),則a2x+32ay=0,-a2x+32az=0,令x=1,u=1,-33,33,同理平面ADB1的法向量為v=1,-33,-33,所以cos<u,v>=1+13-131+13+131+13+13=35,故平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值為35.