專題能力訓練16直線與圓能力突破訓練1.(20xx內(nèi)蒙古包頭一模)已知圓E經(jīng)過三點A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標準方程為()A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=2542.(20xx河南重點中學聯(lián)考)若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則ECF的面積為()A.32B.25C.355D.343.已知直線y=kx+3與圓(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|23,則實數(shù)k的取值范圍是()A.-,-125B.-,-125C.-,125D.-,1254.已知實數(shù)a,b滿足a2+b2-4a+3=0,函數(shù)f(x)=asin x+bcos x+1的最大值記為(a,b),則(a,b)的最小值是()A.1B.2C.3+1D.35.(20xx中原名校聯(lián)考)已知兩條直線l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1l2,則a=.6.已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點,且直線3x+4y+2=0與該圓相切,則該圓的方程為.7.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點F關(guān)于直線y=x對稱,直線4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,則圓C的方程為.8.已知P是拋物線y2=4x上的動點,過點P作拋物線準線的垂線,垂足為點M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點,則|PM|+|PN|的最小值是.9.在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-3y=4相切.(1)求圓O的方程;(2)若圓O上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=23,求直線MN的方程;(3)設(shè)圓O與x軸相交于A,B兩點,若圓內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求PAPB的取值范圍.10.已知圓O:x2+y2=4,點A(3,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點B的軌跡為.(1)求曲線的方程;(2)直線AB交圓O于C,D兩點,當B為CD的中點時,求直線AB的方程.11.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標原點,求|MN|.思維提升訓練12.(20xx全國,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=AB+AD,則+的最大值為()A.3B.22C.5D.213.已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,1214.(20xx江蘇,13)在平面直角坐標系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若PAPB20,則點P的橫坐標的取值范圍是.15.已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=.16.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;(3)設(shè)點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍.17.已知以點Ct,2t(tR,t0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點.(1)求證:AOB的面積為定值;(2)設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;(3)在(2)的條件下,設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點,求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標.參考答案專題能力訓練16直線與圓能力突破訓練1.C解析用排除法,因為圓心在x軸的正半軸上,排除B;代入點A(0,1),排除A,D.故選C.2.B解析由題意,圓心為C(2,-3),半徑為r=3,則ECF的高h=d=|2+23-3|1+(-2)2=5,底邊長為l=2r2-d2=29-5=4,所以SECF=1245=25,故選B.3.B解析當|MN|=23時,在弦心距、半徑和半弦長構(gòu)成的直角三角形中,可知圓心(1,-2)到直線y=kx+3的距離為4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|23,則k-125.4.B解析由題意知(a,b)=a2+b2+1,且(a,b)滿足a2+b2-4a+3=0,即(a,b)在圓C:(a-2)2+b2=1上,圓C的圓心為(2,0),半徑為1,a2+b2表示圓C上的動點(a,b)到原點的距離,最小值為1,所以(a,b)的最小值為2.故選B.5.0或12解析當a=0時,l1l2,當a0時,由-1a2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=12.6.(x-1)2+y2=1解析因為拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),所以a=1,b=0.又根據(jù)|31+40+2|32+42=1=r,所以圓的方程為(x-1)2+y2=1.7.x2+(y-1)2=10解析拋物線y2=4x的焦點F(1,0)關(guān)于直線y=x的對稱點C(0,1)是圓心,C到直線4x-3y-2=0的距離d=|40-31-2|5=1.圓截直線4x-3y-2=0的弦長為6,圓的半徑r=12+32=10.圓方程為x2+(y-1)2=10.8.26-1解析拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離,進而推斷出當P,C,F三點共線時,點P到點C的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值為|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.解(1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-3y=4的距離,即r=41+3=2.所以圓O的方程為x2+y2=4.(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.則圓心O到直線MN的距離d=|m|5.由垂徑定理,得m25+(3)2=22,即m=5.所以直線MN的方程為2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因為PAPB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1),且點P在圓O內(nèi),所以0x2+y2<4,x2-y2=2.由此得0y2<1.所以PAPB的取值范圍為-2,0).10.解(1)設(shè)AB的中點為M,切點為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取點A關(guān)于y軸的對稱點A,連接AB,則|AB|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4>|AA|.所以點B的軌跡是以A,A為焦點,長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=3,b=1,故曲線的方程為x24+y2=1.(2)因為B為CD的中點,所以O(shè)BCD,則OBAB.設(shè)B(x0,y0),則x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=23.則kOB=22,kAB=2,則直線AB的方程為y=2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.解(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范圍為4-73,4+73.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.思維提升訓練12.A解析建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,1),B(0,0),D(2,1).設(shè)P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圓的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因為點P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上,所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故選A.13.B解析由題意可得,ABC的面積為S=12ABOC=1,由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M-ba,0,由-ba0可得點M在射線OA上.設(shè)直線和BC的交點為N,又直線BC的方程為x+y=1,則由y=ax+b,x+y=1,可得點N的坐標為1-ba+1,a+ba+1.若點M和點A重合,則點N為線段BC的中點,則-ba=-1,且a+ba+1=12,解得a=b=13.若點M在點O和點A之間,則點N在點B和點C之間,由題意可得NMB的面積等于12,即12|MB|yN=12,即121+baa+ba+1=12,解得a=b21-2b>0,則b<12.若點M在點A的左側(cè),則-ba<-1,b>a,設(shè)直線y=ax+b和AC的交點為P,則由y=ax+b,y=x+1,求得點P的坐標為1-ba-1,a-ba-1,此時,NP=1-ba+1-1-ba-12+a+ba+1-a-ba-12=-2(1-b)(a+1)(a-1)2+2a(b-1)(a+1)(a-1)2=4(1+a2)(1-b)2(a+1)2(a-1)2=2|1-b|(a+1)(a-1)|1+a2,此時,點C(0,1)到直線y=ax+b的距離為|0-1+b|1+a2=|b-1|1+a2,由題意可得,CPN的面積等于12,即122|1-b|(a+1)(a-1)|1+a2|b-1|1+a2=12,化簡,得2(1-b)2=|a2-1|.由于此時0<a<1,2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.兩邊開方可得2(1-b)=1-a2<1,則1-b<12,即b>1-22,綜合以上可得,b=13符合題意,且b<12,b>1-22,即b的取值范圍是1-22,12.14.-52,1解析設(shè)P(x,y),由PAPB20,易得x2+y2+12x-6y20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y20得2x-y+50.由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+50表示的平面區(qū)域及P點在圓上,可得點P在圓弧EPF上,所以點P橫坐標的取值范圍為-52,1.15.4解析因為|AB|=23,且圓的半徑R=23,所以圓心(0,0)到直線mx+y+3m-3=0的距離為R2-|AB|22=3.由|3m-3|m2+1=3,解得m=-33.將其代入直線l的方程,得y=33x+23,即直線l的傾斜角為30.由平面幾何知識知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|cos30=4.16.解圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因為直線lOA,所以直線l的斜率為4-02-0=2.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|26-7+m|5=|m+5|5.因為BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.將代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓x-(t+4)2+(y-3)2=25上,從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共點,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,實數(shù)t的取值范圍是2-221,2+221.17.(1)證明由題設(shè)知,圓C的方程為(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化簡,得x2-2tx+y2-4ty=0.當y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);當x=0時,y=0或4t,則B0,4t,故SAOB=12|OA|OB|=12|2t|4t=4為定值.(2)解|OM|=|ON|,原點O在MN的中垂線上.設(shè)MN的中點為H,則CHMN,C,H,O三點共線,則直線OC的斜率k=2tt=2t2=12,t=2或t=-2.圓心為C(2,1)或(-2,-1),圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于當圓的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時不滿足直線與圓相交,舍去,故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解點B(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為B(-4,-2),則|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|.又點B到圓上點Q的最短距離為|BC|-r=(-6)2+(-3)2-5=35-5=25,所以|PB|+|PQ|的最小值為25,直線BC的方程為y=12x,則直線BC與直線x+y+2=0的交點P的坐標為-43,-23.