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1、△+△數(shù)學中考教學資料2019年編△+△ 全國中考數(shù)學試題分類解析匯編(159套63專題） 專題52：平面幾何的綜合 一、選擇題 1. （2012湖北鄂州3分）如圖，四邊形OABC為菱形，點A、B在以O(shè)為圓心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，則扇形ODE的面積為【 】 A. B. C. D. 【答案】A。 【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算。 【分析】如圖，連接OB． ∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°。 又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°。 又∵OA=2， ∴扇形ODE的面積為。

2、故選A。 2. （2012湖南岳陽3分）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD； ②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是【 】 A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【答案】A。 【考點】切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)。1052629 【分析】如圖，連接OE， ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠D

3、AO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。 ∴CD=DE+EC=AD+BC。結(jié)論②正確。 在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL） ∴∠AOD=∠EOD。 同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。結(jié)論⑤正確。 ∴∠DOC=∠DEO=90°。 又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。 ∴，即OD2=DC?DE。結(jié)論

4、①正確。 而，結(jié)論④錯誤。 由OD不一定等于OC，結(jié)論③錯誤。 ∴正確的選項有①②⑤。故選A。 3. （2012四川樂山3分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四邊形CEDF不可能為正方形； ③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化； ④點C到線段EF的最大距離為． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是【 】 　　A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個 【答案

5、】B。 【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。 【分析】①連接CD（如圖1）。 ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。 ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。 ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE是等腰直角三角形。 故此結(jié)論正確。 ②當E、F分別為AC、BC中點時，∵由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。 ∴四邊形CEDF是平行四邊形。 又∵E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，

6、∴四邊形CEDF是菱形。 又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是正方形。 故此結(jié)論錯誤。 ③如圖2，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N， 由②，知四邊形CMDN是正方形，∴DM=DN。 由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 ∴由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 ∴四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯誤。 ④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。 當DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。此時點C到線段E

7、F的最大距離為。 故此結(jié)論正確。 故正確的有2個：①④。故選B。 4. （2012四川廣元3分） 如圖，A，B是⊙O上兩點，若四邊形ACBO是菱形，⊙O的半徑為r，則點A 與點B之間的距離為【 】 A. B. C. r D. 2r 【答案】B。 【考點】菱形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】如圖，連接AB，與OC交于點D， ∵四邊形ACBO為菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB。 又∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都為等邊三角形，

8、AD=BD。 在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，∴AD=OAsin60°=。 ∴AB=2AD=。故選B。 5. （2012遼寧錦州3分）下列說法正確的是【 】 A.同位角相等 B.梯形對角線相等 C.等腰三角形兩腰上的高相等 D.對角線相等且垂直的四邊形是正方形 【答案】C。 【考點】同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定。 【分析】根據(jù)同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)和正方形的判定逐一作出判斷： A.兩直線平行，被第三條直線所截，同位角才相等，說法錯誤；

9、 B.等腰梯形的對角線才相等，說法錯誤； C.根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，兩腰上的高與底邊構(gòu)成的兩直角三角形全等（用AAS），從而得出等腰三角形兩腰上的高相等的結(jié)論 ，說法正確； D.對角線相等且垂直的四邊形是不一定是正方形，還要對角線互相平分，說法錯誤。 故選C。 二、填空題 1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖,在矩形ABCD中，對角線AC、BD相較于O,DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶2，且AC=10，則DE的長度是 ▲ ． 【答案】。 【考點】矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。

10、 【分析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD= BD=5。 ∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD。 ∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=30°，∠EDA=60°。 ∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°。∴∠DCE=90°－∠EDC=60°?！唷螼DC=∠OCD=60°。 ∴∠COD=60°?！郉E= OD ? sin 60°== 。 2. （2012浙江、舟山嘉興5分）如圖，在Rt△ABC中，∠A

11、BC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交GD、CA于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論： ①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是　 ▲ ?。? 【答案】①③。 【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)。 【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。 又∵AG⊥AB，∴AG∥BC?！唷鰽FG∽△CFB?！唷? ∵BA=BC，∴。故①正確。 ∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=

12、∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。 ∵AB=CB，點D是AB的中點，∴BD=AB=CB。∴。 又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，。 ∵，∴FG=FB。故②錯誤。 ∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2?！郃F=AC。 ∵AC=AB，∴AF=AB。故③正確。 設(shè)BD= a，則AB=BC=2 a，△BDF中BD邊上的高=。 ∴S△ABC=， S△BDF ∴S△ABC=6S△BDF，故④錯誤。 因此，正確的結(jié)論為①③。 3. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝1

13、20°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°． (1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是　 ▲ ??； (2)若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是　 ▲ ?。? 【答案】6；2或5。 【考點】直角梯形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形。 【分析】(1)如圖1，過E點作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。 ∵E是AB的中點，AB＝6，∴DG＝AE＝3。 ∴∠DEG＝60°（由三角函數(shù)定義可得）。 ∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。 ∴tan60°＝，解得，GF＝3。 ∵EG⊥D

14、F，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂線?！郉F＝2 GF＝6。 (2)如圖2，過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝。 ∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。 ∴CH＝，BC＝。 設(shè)AE＝x，則BE＝6－x， 在Rt△ADE中，DE＝， 在Rt△EFM中，EF＝， ∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。 ∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。 ∴，即，解得x＝2或5。 4. （2012浙江寧波3分）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=

15、2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ▲ ． 【答案】。 【考點】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，當半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H。 ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2。 由圓周

16、角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×。 由垂徑定理可知EF=2EH=。 5. （2012湖北十堰3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC為直徑的半圓O交AB于點D，點E是AB的中點，CE交半圓O于點F，則圖中陰影部分的面積為　 ▲ 　cm2． 【答案】。 【考點】含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積的計算。 【分析】連接OD，

17、OF。 ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm， ∴AC=AB=6cm，∠BAC=60°。 ∵E是AB的中點，∴CE=AB=AE?！唷鰽CE是等邊三角形。 ∴∠ECA=60°。 又∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形?！唷螪OA=60°?！唷螩OD=120°。 同理，∠COF=60°?！唷螪OA=∠COE=60°?！?，AD=CF。 ∴與弦AD圍成的弓形的面積等于與弦CF圍成的弓形的面積相等。 ∴。 ∵AC是直徑，∴∠CDA=90°。 又∵∠BAC=60

18、6;，AC =6cm，∴。 又∵△OCD中CD邊上的高=, ∴. 又∵，∴。 6. （2012四川宜賓3分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正確的是 ▲ （寫出所有正確結(jié)論的序號）． 【答案】②③④。 【考點】切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】①如圖，連接BD，

19、 ∵點C是的中點，∴∠ABC =∠CBD，即∠ABD=2∠ABC。 又∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°。 ∴∠BAD＋∠ABD=900，即∠BAD＋2∠ABC =900。 ∴當∠ABC =300時，∠BAD=∠ABC；當∠ABC ≠300時，∠BAD≠∠ABC。 ∴∠BAD與∠ABC不一定相等。所以結(jié)論①錯誤。 ②∵GD為圓O的切線，∴∠GDP=∠ABD。 又∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°。 ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。 又∵∠PAF=∠BAD， ∴∠ABD=∠APF。 又∵∠APF=∠

20、GPD，∴∠GDP=∠GPD。∴GP=GD。所以結(jié)論②正確。 ∵直徑AB⊥CE， ∴A為的中點，即。 又∵點C是的中點，∴?！??！唷螩AP=∠ACP。∴AP=CP。 又∵AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°?！唷螾CQ=∠PQC?！郟C=PQ。 ∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點。 ∴P為Rt△ACQ的外心。所以結(jié)論③正確。 ④如圖，連接CD， ∵，∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA。 ∴，即AC2=CQ?CB。 ∵，∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC。 ∴，即AC2=AP?AD。 ∴AP?A

21、D=CQ?CB。所以結(jié)論④正確。 則正確的選項序號有②③④。 7. （2012山東日照4分）如圖1，正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖2，最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1 ▲ S2（用“>”、“<”或“=”填空）. 【答案】＜。 【考點】軸對稱的性質(zhì)，正方形和圓的性質(zhì)，勾股定理，實數(shù)的大小比較， 【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)：圖1陰影部分的面積等于等于矩形ACDF的面積，圖2每個陰影部分正好是它所在的圓的四分之一，則陰影部分的面積大圓面積的四分之一。計算出結(jié)果后再比較S1與S2的大小即可： ∵正方形OCDE的邊長為1，∴根據(jù)勾

22、股定理得OD=， ∴AO=。 ∴AC=AO－CO= －1?！?。 ∵大圓面積=πr2=π∴。 ∵ ＜，∴S1＜S2。 三、解答題 1. （2012北京市5分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作 ⊙O的切線，交OD 的延長線于點E，連結(jié)BE． （1）求證：BE與⊙O相切； （2）連結(jié)AD并延長交BE于點F，若OB=9，，求BF的長． 【答案】證明：（1）連接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂徑定理）。 ∴△CDO≌△BDO（HL）。∴∠COD=∠BOD。 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，O

23、E=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）?！唷螼BE=∠OCE=90°，即OB⊥BE?！郆E與⊙O相切。 （2）過點D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。 又∵ ，OB=9，∴OD=6。 ∴OH=4，HB=5，DH=2。 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。 【考點】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結(jié)論。 （2）過點D作DH⊥AB，根據(jù) ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB

24、，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長。 2. （2012陜西省12分）如圖，正三角形ABC的邊長為． （1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上．在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）； （2）求（1）中作出的正方形的邊長； （3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由． 【答案】解：（1）如圖①，正方形即為所求。 （2）設(shè)

25、正方形的邊長為x． ∵△ABC為正三角形，∴。 ∴?！?，即。 （3）如圖②，連接NE，EP，PN，則。 設(shè)正方形DEMN和正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n）， 它們的面積和為S，則，。 ∴. ∴。 延長PH交ND于點G，則PG⊥ND。 在中，。 ∵，即. ∴。

26、 ∴①當時，即時，S最小。 ∴。 ②當最大時，S最大，即當m最大且n最小時，S最大。 ∵，由（2）知，。 ∴。 ∴。 【考點】位似變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)。 【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示。 （2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′

27、P′N′的邊長 （3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達式為：，可見S的大小只與m、n的差有關(guān)：①當m=n時，S取得最小值；②當m最大而n最小時，S取得最大值．m最大n最小的情形見第（1）（2）問。 3. （2012廣東肇慶8分） 如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E. （1）求證：BD=BE； （2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積. 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD， ∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行

28、四邊形。 ∴AC=BE?！郆D=BE。 （2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8。 ∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×。 ∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8 ∴四邊形ABED的面積=（AB+DE）·BC=×（4+8）×。 【考點】矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行

29、四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證。 （2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長（或用勾股定理求），并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出DE的長，最后利用梯形的面積公式列式計算即可得解。 4. （2012廣東梅州8分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E． （1）求證：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE?AC，求證：CD=CB． 【答案】證明：（1）∵∠A與∠B都是弧所對的圓周角， ∴∠A=∠B， 又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。 （

30、2）∵AD2=AE?AC，∴。 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD?！唷螦ED=∠ADC。 又∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°?！唷螦ED=90°。 ∴直徑AC⊥BD，∴CD=CB。 【考點】圓周角定理，對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點的性質(zhì)。 【分析】（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE。 （2）由AD2=AE?AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，可求得AC⊥BD，由線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)可

31、證得CD=CB。 5. （2012廣東肇慶10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連結(jié)BE、AD交于點P. 求證： （1）D是BC的中點； （2）△BEC ∽△ADC； （3）AB× CE=2DP×AD． 【答案】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。 ∵AB=AC，∴D是BC的中點。 （2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°， ∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。 （3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=

32、∠CAD。 ∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。 ∴?！?。 ∵BC=2BD，∴，即。 ∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE?！?。 ∴，即AB?CE=2DP?AD。 【考點】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點。 （2）由AB是⊙O的直徑，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BEC∽△ADC

33、。 （3）易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得AB?CE=2DP?AD。 6. （2012浙江臺州12分）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE． （1）求證：△ABD≌△CBE； （2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論． 7. （2012浙江杭州12分）如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）

34、求∠COB的度數(shù)； （2）求⊙O的半徑R； （3）點F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比． 【答案】解：（1）∵AE切⊙O于點E，∴AE⊥CE。 又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。 又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。 （2）∵AE=3，∠A=30°， ∴在

35、Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3。 ∵OB⊥MN，∴B為MN的中點。 又∵MN=2，∴MB=MN=。 連接OM，在△MOB中，OM=R，MB=， ∴。 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°=，∴BO=OC。 ∴。 又∵OC+EC=OM=R， ∴。 整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5。 ∴R=5。 （3）在EF同一側(cè)，△COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個， 如圖，每小圖2個，頂點在圓上

36、的三角形，如圖所示： 延長EO交圓O于點D，連接DF，如圖所示， △FDE即為所求。 ∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5。 則C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1。 【考點】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得

37、出△AEC∽△OBC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。 （2）在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB⊥MN，根據(jù)垂徑定理得到B為MN的中點，根據(jù)MN的長求出MB的長，在Rt△OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC，用OE﹣OC=EC列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值。 （3）把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的

38、三角形共有6個。 頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D，連接DF，△FDE即為所求。 根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到△FDE為直角三角形，由∠FDE為30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出△EFD的周長，再由（2）求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比。 8. （2012浙江湖州10分）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以點D為圓心，DA長為半徑的⊙D與AB相切于A，與BC交于點F，過點D作DE⊥BC，垂足為E． （1）求證：四邊形ABED為矩形； （2）若AB=4， ，求CF的長． 【

39、答案】（1）證明：∵⊙D與AB相切于點A，∴AB⊥AD。 ∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。 ∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。 ∴四邊形ABED為矩形。 （2）解：∵四邊形ABED為矩形，∴DE=AB=4。 ∵DC=DA，∴點C在⊙D上。 ∵D為圓心，DE⊥BC，∴CF=2EC。 ∵，設(shè)AD=3k（k＞0）則BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。 由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。 ∵k＞0，∴k=?！郈F=2EC=2。 【考點】切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定

40、系數(shù)法，垂徑定理。 【分析】（1）根據(jù)AD∥BC和AB切圓D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出結(jié)論。 （2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AD=BE=AB=DE=4，根據(jù)垂徑定理求出CF=2CE，設(shè)AD=3k，則BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一個關(guān)于k的方程，求出k的值，即可求出答案。 9. （2012江蘇南京8分）如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點D在BC的延長線上，且BD=AB，過B作BEAC，與BD的垂線DE交于點E， （1）求證：△ABC≌△BDE （2）三角形BDE可由三角形ABC旋轉(zhuǎn)

41、得到，利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O（保留作圖痕跡，不寫作法） 【答案】（1）證明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°。 ∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°?！唷螦=∠DBE。 ∵DE是BD的垂線，∴∠D=90°。 在△ABC和△BDE中，∵ ∠A=∠DBE ，AB=DB ，∠ABC=∠D， ∴△ABC≌△BDE（ASA）。 （2）如圖，點O就是所求的旋轉(zhuǎn)中心。 【考點】三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定，作圖（旋轉(zhuǎn)變換），線段垂直平分線的性質(zhì)。 【分析】（1）利用已知得出∠A=∠DBE，從而利用ASA得

42、出△ABC≌△BDE即可。 （2）利用垂直平分線的性質(zhì)可以作出，或者利用正方形性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心也可。 10. （2012江蘇揚州10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足為E．求證：BE＝DE． 【答案】證明：作CF⊥BE，垂足為F， ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°。 ∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∠CBE＋∠ABE＝90°， ∠BAE＋∠ABE＝90°。 ∴∠BAE＝∠CBF?！嗨倪呅蜤FCD為矩形?！郉E＝CF。 ∵在△BAE和△CBF中，∠CBE＝∠BAE，∠BF

43、C＝∠BEA＝90°，AB＝BC， ∴△BAE≌△CBF（AAS）?！郆E＝CF。 又∵CF＝DE，∴BE＝DE。 【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)。 【分析】作CF⊥BE，垂足為F，得出矩形CFED，求出∠CBF＝∠A，根據(jù)AAS證△BAE≌△CBF，推出BE＝CF即可。 11. （2012廣東河源7分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E． (1)求證：△ADE∽△BCE； (2)若AD2＝AC·AE，求證：BC＝CD． 【答案】證明：（1）∵∠A與∠B都是弧所對的圓周角， ∴∠A=∠B， 又∵∠AED =∠BEC

44、，∴△ADE∽△BCE。 （2）∵AD2=AE?AC，∴。 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD?！唷螦ED=∠ADC。 又∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°?！唷螦ED=90°。 ∴直徑AC⊥BD，∴CD=CB。 【考點】圓周角定理，對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點的性質(zhì)。 【分析】（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE。 （2）由AD2=AE?AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，可求得AC⊥BD，由線段垂直平分線上

45、的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得CD=CB。 12. （2012湖北隨州10分）如圖，已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O為AB的中點. (1)求證：以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切； (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的長. 【答案】解：（1）在CD上取中點F，連接OF， ∵O為AB的中點，∴由梯形中位線可知OF=(AD+BC)，OF∥AD∥BC。 又∵AD+BC=CD，∴OF=CD=CF。∴∠FOC=∠FCO。 又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB，∴∠OCF=

46、∠OCB。 在CD上取點E，使DE=DA，則CE=CB。 在△OBC和△OEC中，∵CE=CB，∠OCB=∠OCE，OC=OC， ∴△OBC≌△OEC（SAS）?！唷螧=∠OEC，OE=OD。 ∵∠B=900, ∴∠OEC=90°?！郞E⊥CD。 又∵O為AB的中點，∴OE=OD=OA為⊙O的半徑。 ∴以AB為直徑的⊙O與CD相切于E。 （2）由（1）知，OF=CF=DF，∴O點在以CD為直徑的⊙F上。 ∴∠COD=90°。 在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm， ∴根據(jù)勾股定理得：。 【考點】直角梯形的性質(zhì)，梯形中位線定理，平行的性

47、質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理。 【分析】（1）在CD上取中點F，連接OF，由已知，根據(jù)梯形中位線定理和平行的性質(zhì)，可由SAS得出△OBC≌△OEC，從而由∠B=900，證得OE⊥CD。由OE=OD=OA為⊙O的半徑得出以AB為直徑的⊙O與CD相切于E。 （2）由（1）可知O點在以CD為直徑的⊙F上，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠DOC為直角，在直角三角形COD中，由OD與OC的長，利用勾股定理即可求出CD的長。 13. （2012湖北武漢8分）在銳角△ABC中，BC＝5，sinA＝． (1)如圖1，求△ABC外接圓的直徑； (2)如圖2，點I

48、為△ABC的內(nèi)心，BA＝B C，求AI的長。 【答案】解：（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD。 則∠CBD=900，∠D=∠A。 ∴。 ∵BC＝5，∴。 ∴△ABC外接圓的直徑為。 （2）連接BI并延長交AC于點H，作IE⊥AB于點E。 ∵BA=BC，∴BH⊥AC?！郔H=IE。 在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BDH=4，

49、。 ∵，∴ ，即。 ∵IH=IE，∴。 在Rt△AIH中，。 【考點】三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD，由直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)得∠CBD=900，由同圓中同弧所對圓周角相等得∠D=∠A，從而由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得△ABC外接圓的直徑。 （2）連接BI并延長交AC于點H，作IE⊥AB于點E，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定

50、 和性質(zhì)，知IH=IE。在Rt△ABH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出BH=4和AH=3，從而由求得。在Rt△AIH中，應(yīng)用勾股定理求得AI的長。 14. （2012湖北荊門10分）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)） 【答案】解：如圖，連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E

51、，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F．則OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m， ∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， 在Rt△AOF中，， ∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。 ∵（m），由題意得：MN=1m，∴FN=OM－OF+MN=3（m）。 ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。 在Rt△ADE中，，∴DE=2m，DC=12m。 ∴（m2）。 答：U型槽的橫截面積約為20m2。 【考點】解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，銳

52、角三角函數(shù)定義。 【分析】連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F，則OF⊥AB。根據(jù)垂徑定理求出AF，再在Rt△AOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長，再由即可得出結(jié)果。 15. （2012湖北宜昌8分）如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F(xiàn)兩點，點C為的中點． （1）求證：OF∥BD； （2）若，且⊙O的半徑R=6cm． ①求證：點F為線段OC的中點； ②求圖中陰影部分（弓形）的

53、面積． 【答案】（1）證明：∵OC為半徑，點C為的中點，∴OC⊥AD。 ∵AB為直徑，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。 （2）①證明：∵點O為AB的中點，點F為AD的中點，∴OF=BD。 ∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。 ∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD， ∴，∴FC=BD。 ∴FC=FO，即點F為線段OC的中點。 ②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO， 又∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形。 ∴根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得△AOC的高為。 ∴（cm2）。 答：圖中陰影部分（弓形）的面積為cm2。 【考點】圓心角、弧、弦

54、的關(guān)系，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算。 【分析】（1）由垂徑定理可知OC⊥AD，由圓周角定理可知BD⊥AD，從而證明OF∥BD。 （2）①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為△ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點F為線段OC的中點； ②根據(jù)S陰=S扇形AOC﹣S△AOC，求面積。 16. （2012湖北黃岡8分）如圖，在△ABC 中，BA=BC，以AB 為直徑作半圓⊙O，交AC 于點D.連結(jié)DB， 過點D 作DE⊥BC，垂足為點E. （1）求證：DE

55、 為⊙O 的切線； （2）求證：DB2=AB·BE. 【答案】證明：（1）連接OD、BD，則∠ADB=90°（圓周角定理）， ∵BA=BC，∴CD=AD（三線合一）。 又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線。 ∴OD∥BC。 ∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。 ∴DE為⊙O的切線。 （2）∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC， ∴△BED∽△BDC，∴。 又∵AB=BC，∴?！郆D2=AB?BE。 【考點】切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性

56、質(zhì)。 【分析】（1）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，從而得出點D是AC中點，判斷出OD是△ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出∠ODE=90°，這樣可判斷出結(jié)論。 （2）根據(jù)題意可判斷△BED∽△BDC，從而可得BD2=BC?BE，將BC替換成AB即可得出結(jié)論。 17. （2012湖北鄂州10分）如圖，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中點，以CD長 為直徑作圓，交BC于E，過E作EH⊥AB于H。 （1）求證：OE∥AB; （2）若EH＝CD，求證：AB是⊙O的切線； （3）若BE=4BH，求的值。

57、【答案】解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。 ∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。 （2）證明：過點O作OF⊥AB于點F，過點O作OG∥BC交AB于點G。 ∵AB=DC，∴∠B=∠C。 ∴OC=OE，∴∠OEC=∠C?！唷螼EC=∠B?！郞E∥GB。 又∵EH⊥AB，∴FO∥HE?！嗨倪呅蜲EHF是平行四邊形。∴OF=EH。 又∵EH=CD，∴OF=CD，即OF是⊙O的半徑。 ∴AB是⊙O的切線。 （3）連接DE。 ∵CD是直徑，∴∠DEC=90°?！唷螪EC=∠EHB。 又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC

58、。∴。 ∵BE=4BH，設(shè)BH=k，則BE=4k， ， ∴CD=2EH=2?！?。 【考點】等腰梯形（三角形）的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）判斷出∠B=∠OEC，根據(jù)同位角相等得出OE∥AB。 （2）過點O作OF⊥AB于點F，過點O作OG∥BC交AB于點G，證明OF是⊙O的半徑即可。 （3）求出△EHB∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答。 18. （2012湖南長沙8分）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°， （1）求證：△ABC

59、是等邊三角形； （2）求圓心O到BC的距離OD． 19. （2012湖南懷化10分）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、DB. （1）當=時，求的度數(shù)； （2）若AC=，求證△ACD∽△OCB. 【答案】解：（1）連接OA， ∵OA=OB=OD，，=， ∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°。 ∴∠DAB=∠DAO＋∠BAO=48°。 由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°。 （2）證明：過O作OE⊥AB于E， 由

60、垂徑定理得：AE=BE。 ∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，∴OE=OB=2。 由勾股定理得：BE==AE，即AB=2AE=。 ∵AC=，∴BC=，即C、E兩點重合?！郉C⊥AB。 ∴∠DCA=∠OCB=90°。 ∵DC=OD＋OC=2＋4=6，OC=2，AC=BC=。 ∴。 ∴△ACD∽△OCB（兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似）。 【考點】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定。 【分析】（1）連接OA，根據(jù)OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度數(shù)，求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理求出即可。 （2）

61、過O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出 ∠ACD=∠OCB=90°，求出DC長得出 ，根據(jù)相似三角形的判定推出即可。 20. （2012湖南衡陽8分）如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm． （1）求證：BF是⊙O的切線． （2）若AD=8cm，求BE的長． （3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由． 【答案】解：（1）證明：∵CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB。 又∵AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線。 （2

62、）如圖1，連接BD。 ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）。 又∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABD。 ∴?！郃D2=AE?AB。 ∵AD=8cm，AB=10cm，∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。 （3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。理由如下： 連接BC。 ∵四邊形CBFD為平行四邊形， ∴BC∥FD，即BC∥AD。 ∴∠BCD=∠ADC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 ∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對的圓周角相等）， ∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD

63、=∠BDA， 又∵∠BDA=90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°。 ∴CD是⊙O的直徑，即點E與點O重合（或線段CD過圓心O）。 在△OBC和△ODA中，∵OC=OD，∠COB=∠DOA=90°，OB=OA， ∴△OBC≌△ODA（SAS）?！郆C=DA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。 ∴四邊形ACBD是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）， ∵∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AC=AD，∴四邊形ACBD是正方形。 【考點】平行的判定，切線的判定，圓周角定理，相似和全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四

64、邊形的性質(zhì)，正方形的判定。 【分析】（1）欲證明BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可。 （2）連接BD，在直角三角形ABD中，利用△ADE∽△ABD【學過投影定理的直接應(yīng)用】可以求得AE的長度，最后結(jié)合圖形知BE=AB﹣AE。 （3）連接BC，四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。根據(jù)平行四邊形的對邊平行、平行線的性質(zhì)、圓周角定理以及同弧所對的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質(zhì)推知AC=BD，根據(jù)正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形。 21. （2012湖南株洲8分）如圖，已知AD為⊙O的

65、直徑，B為AD延長線上一點，BC與⊙O切于C點，∠A=30°． 求證：（1）BD=CD； （2）△AOC≌△CDB． 【答案】證明：（1）∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°。 又∵∠A=30°，OA=OC=OD，∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°。 又∵BC與⊙O切于C，∴∠OCB=90°，∴∠BCD=30°?！唷螧=30°。 ∴∠BCD=∠B?！郆D=CD。 （2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，∴AC=BC。 在△AOC和△BDC中，∵∠A =∠B，AC

66、=BC，∠ACO=∠BCD， ∴△AOC≌△BDC（ASA）。 【考點】圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定。 【分析】（1）由AD為⊙O的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等邊對等角與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC與⊙O切于C點，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角對等邊，即可證得BD=CD。 （2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，

67、即可得AC=BC，然后由ASA，即可證得△AOC≌△CDB。 22. （2012四川瀘州7分）“五一”節(jié)期間，小明和同學一起到游樂場游玩。如圖為某游樂場大型摩天輪的 示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點B離地面1m。小明乘坐的車廂經(jīng)過點B 時開始計時。 (1)計時4分鐘后小明離地面的高度是多少？ (2)的旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？ 【答案】解：（1）設(shè)4分鐘后小明到達點C，過點C作CD⊥OB于點D，DA即為小明離地的高度， ∵∠COD=，∴OD=OC=×20=10。 ∴DA=20－10＋1=11（m

68、）。 答：計時4分鐘后小明離地面的高度是11m。 （2）設(shè)當旋轉(zhuǎn)到E處時，小明離地面高度為31m。 作弦EF⊥AO交AO的延長線于點H，連接OE，OF，此時EF離地面高度為HA。 ∵HA=31，∴OH=31－1－20=10。∴OH=OE。∴∠HOE=60°?！唷螰OE=120°。 ∵每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，∴由點E旋轉(zhuǎn)到F所用的時間為：（分鐘）。 答：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有8分鐘的時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中。 【考點】圓的綜合題，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】（1）設(shè)4分鐘后小明到達點C，過點C作CD⊥OB于點D，根

69、據(jù)旋轉(zhuǎn)的時間可以求得旋轉(zhuǎn)角∠COD，利用三角函數(shù)即可求得OD的長，從而求解。 （2）設(shè)當旋轉(zhuǎn)到E處時，小明離地面高度為31m。作弦EF⊥AO交AO的延長線于點H，連接OE，OF，此時EF離地面高度為HA，在直角△OEH中，利用三角函數(shù)求得∠HOE的度數(shù)，則∠EOF的度數(shù)即可求得，則旋轉(zhuǎn)的時間即可求得。 23. （2012四川成都10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K． （1）求證：KE=GE； （2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由； （3） 在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長． 【答案】解：（1）證明：如答圖1，連接OG。 ∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=