人教版高中數(shù)學(xué)精品資料 高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理單元綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-3時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1(2014·新課標(biāo)理，5)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為ABC D答案D解析四位同學(xué)各自在周六、周日兩種選擇一天參加公益活動(dòng)的情況有2416種方式，其中僅在周六(周日)參加的各有一種，故所求概率P1.2已知CCC(nN*)，則n等于()A14 B12 C13 D15答案A解析因?yàn)镃CC，所以CC.78n1，n14，故選A3(2015·河南省高考適應(yīng)性測(cè)試)3對(duì)夫婦去看電影，6個(gè)人坐成一排，若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性，則坐法的種數(shù)為()A54 B60 C66 D72答案B解析記3位女性為a、b、c，其丈夫依次為A、B、C，當(dāng)3位女性都相鄰時(shí)可能情形有兩類：第一類男性在兩端(如BAabcC)，有2A種，第二類男性在一端(如XXAabc)，有2AA種，共有A(2A2)36種，當(dāng)僅有兩位女性相鄰時(shí)也有兩類，第一類這兩人在一端(如abBACc)，第二類這兩人兩端都有其他人(如AabBCc)，共有4A24種，故滿足題意的坐法共有362460種4(2013·晉中市祁縣二中高二期中)某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有()A8種 B10種 C12種 D32種答案B解析此人從A到B，路程最短的走法應(yīng)走兩縱3橫，將縱用0表示，橫用1表示，則一種走法就是2個(gè)0和3個(gè)1的一個(gè)排列，只需從5個(gè)位置中選2個(gè)排0，其余位置排1即可，故共有C10種(注：若排法為10011，則走法如圖中箭頭所示)5(2015·廣東理，4)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為()A B C D1答案B解析從袋中任取 2個(gè)球共有 C105種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有CC50種，所以恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為，故選B6(2014·安徽理，8)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有()A24對(duì) B30對(duì) C48對(duì) D60對(duì)答案C解析解法1：先找出正方體一個(gè)面上的地角線與其余面對(duì)角線成60°角的對(duì)數(shù)，然后根據(jù)正方體六個(gè)面的特征計(jì)算總對(duì)數(shù)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，與面對(duì)角線AC成60°角的面對(duì)角線有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8條，同理與BD成60°角的面對(duì)角線也有8條，因此一個(gè)面上的對(duì)角線與其相鄰4個(gè)面的對(duì)角線，共組成16對(duì)，又正方體共有6個(gè)面，所有共有16×696對(duì)因?yàn)槊繉?duì)都被計(jì)算了兩次(例如計(jì)算與AC成60°角時(shí)，有AD1，計(jì)算與AD1成60°角時(shí)有AC，故AD1與AC這一對(duì)被計(jì)算了2次)，因此共有×9648對(duì)解法2：間接法正方體的面對(duì)角線共有12條，從中任取2條有C種取法，其中相互平行的有6對(duì)，相互垂直的有12對(duì)，共有C61248對(duì)7(2015·湖南理，6)已知5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a()A B C6 D6答案D解析Tr1C(1)rarxr，令r得r1，可得5a30a6，故選D8從0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A300 B216 C180 D162答案C解析本小題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)由題意知可分為兩類，(1)選“0”，共有CCCA108，(2)不選“0”，共有CA72，由分類加法計(jì)數(shù)原理得72108180，故選C9.(2014·山東省膠東示范校檢測(cè))已知某動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含x，y正半軸上的整點(diǎn))，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(m，n)(m1，n1)或(m，n)(m1，n1)若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)6步運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(6,2)，則不同的運(yùn)動(dòng)軌跡有()A15種 B14種 C9種 D103種答案C解析由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，每一步的橫坐標(biāo)都增加1，只需考慮縱坐標(biāo)的變化，而縱坐標(biāo)每一步增加1(或減少1)，經(jīng)過(guò)6步變化后，結(jié)果由0變到2，因此這6步中有2步是按照(m，n)(m1，n1)運(yùn)動(dòng)的，有4步是按照(m，n)(m1，n1)運(yùn)動(dòng)的，因此，共有C15種，而此動(dòng)點(diǎn)只能在第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含x，y正半軸上的整點(diǎn))，當(dāng)?shù)谝徊?m，n)(m1，n1)時(shí)不符合要求，有C種；當(dāng)?shù)谝徊?m，n)(m1，n1)，但第二、三兩步為(m，n)(m1，n1)時(shí)也不符合要求，有1種，故要減去不符合條件的C16種，故共有1569種10(2015·河北唐山市一模)3展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A8 B12 C20 D20答案C解析36，Tr1Cx6r·rC(1)rx62r，令62r0，得r3，常數(shù)項(xiàng)為C(1)320.11高三(三)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的3個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，3個(gè)音樂(lè)節(jié)目恰有兩個(gè)節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是()A240 B188 C432 D288答案D12345解析先從3個(gè)音樂(lè)節(jié)目中選取2個(gè)排好后作為一個(gè)節(jié)目有A種排法，這樣共有5個(gè)節(jié)目，兩個(gè)音樂(lè)節(jié)目不連排，兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，如圖，若曲藝節(jié)目排在5號(hào)(或1號(hào))位置，則有4A·A16種排法；若曲藝節(jié)目排在2號(hào)(或4號(hào))位置，也有4AA16種排法，若曲藝節(jié)目排在3號(hào)位置，有2×2AA16種排法，共有不同排法，A×(16×3)288種，故選D12.已知直線axby10(a、b不全為0)與圓x2y250有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有()A66條 B72條 C74條 D78條答案B解析先考慮x0，y0時(shí)，圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有(1,7)(5,5)(7,1)，依圓的對(duì)稱性知，圓上共有3×412個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)的割線有C66(條)，過(guò)每一點(diǎn)的切線共有12條，又考慮到直線axby10不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而上述直線中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的有6條，所以滿足題意的直線共有6612672(條)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13將4名新來(lái)的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案有_ _.答案24種解析將4名新來(lái)的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)至少安排一名學(xué)生有CA種分配方案，其中甲同學(xué)分配到A班共有CACA種方案因此滿足條件的不同方案共有CACACA24(種)14(2015·新課標(biāo)理，15)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_ _.答案3分析考查二項(xiàng)式定理解答本題應(yīng)特別注意所求項(xiàng)是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘得到的，其奇次冪項(xiàng)由a與(1x)4展開式的奇次冪項(xiàng)相乘和由x與(1x)4展開式的偶次冪項(xiàng)相乘得到解析由已知得(1x)414x6x24x3x4，故(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系數(shù)之和為4a4a16132，解得a3.15(2015·廣西柳州市模擬)在(1x)(1x)10的展開式中，含x5的項(xiàng)的系數(shù)為_ _.答案42解析由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得(1x)(1x)10中，含x5項(xiàng)為Cx5(x)Cx4(CC)x542x5，故系數(shù)為42.16將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有_ _種(用數(shù)字作答)答案90種解析本題考查了排列組合中的平均分組分配問(wèn)題，先分組，再把三組分配乘以A得：·A90種三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知Ax|1<log2x<3，xN*，Bx|x6|<3，xN*，試問(wèn)：從集合A和B中各取一個(gè)元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，共可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？解析A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8從A中取一個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo)，從B中取一個(gè)數(shù)作為縱坐標(biāo)，有5×525(個(gè))，而8作為橫坐標(biāo)的情況有5種，3作為縱坐標(biāo)且8不是橫坐標(biāo)的情況有4種，故共有5×55434個(gè)不同的點(diǎn)18(本題滿分12分)求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n,33n26n1可被676整除證明當(dāng)n0時(shí)，原式0，可被676整除當(dāng)n1時(shí)，原式0，也可被676整除當(dāng)n2時(shí)，原式27n26n1(261)n26n1(26nC·26n1C·262C·261)26n126nC26n1C·262.每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262676整除綜上所述，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n,33n26n1可被676整除19(本題滿分12分)(2015·青島市膠州高二期中)已知(1m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112.(1)求m，n的值；(2)求展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；(3)求(1m)n(1x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)解析(1)由題意可得2n256，解得n8.通項(xiàng)Tr1Cmrx，含x項(xiàng)的系數(shù)為Cm2112，解得m2，或m2(舍去)故m，n的值分別為2,8.(2)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，所以含x2的系數(shù)為C24C221008.20(本題滿分12分)某校高三年級(jí)有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)要從中選出10人組成高三女子籃球隊(duì)參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班至少要選1人參加這10個(gè)名額有多少不同的分配方法？解析解法一：除每班1個(gè)名額以外，其余4個(gè)名額也需要分配這4個(gè)名額的分配方案可以分為以下幾類：(1)4個(gè)名額全部給某一個(gè)班級(jí)，有C種分法；(2)4個(gè)名額分給兩個(gè)班級(jí)，每班2個(gè)，有C種分法；(3)4個(gè)名額分給兩個(gè)班級(jí)，其中一個(gè)班級(jí)1個(gè)，一個(gè)班級(jí)3個(gè)由于分給一班1個(gè)，二班3個(gè)和一班3個(gè)、二班1個(gè)是不同的分法，因此是排列問(wèn)題，共有A種分法；(4)分給三個(gè)班級(jí)，其中一個(gè)班級(jí)2個(gè)，其余兩個(gè)班級(jí)每班1個(gè)，共有C·C種分法；(5)分給四個(gè)班，每班1個(gè)，共有C種分法故共有NCCAC·CC126種分配方法解法二：該問(wèn)題也可以從另外一個(gè)角度去考慮：因?yàn)槭敲~分配問(wèn)題，名額之間無(wú)區(qū)別，所以可以把它們視作排成一排的10個(gè)相同的球，要把這10個(gè)球分開成6段(每段至少有一個(gè)球)這樣，每一種分隔辦法，對(duì)應(yīng)著一種名額的分配方法這10個(gè)球之間(不含兩端)共有9個(gè)空位，現(xiàn)在要在這9個(gè)位子中放進(jìn)5塊隔板，共有NC126種放法故共有126種分配方法21(本題滿分12分)用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(1)被4整除；(2)比21034大的偶數(shù)；(3)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)解析(1)被4整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可分為兩類：當(dāng)末兩位數(shù)是20、40、04時(shí)，其排列數(shù)為3A18，當(dāng)末兩位數(shù)是12、24、32時(shí)，其排列數(shù)為3A·A12.故滿足條件的五位數(shù)共有181230(個(gè))(2)當(dāng)末位數(shù)字是0時(shí)，首位數(shù)字可以為2或3或4，滿足條件的數(shù)共有3×A18個(gè)當(dāng)末位數(shù)字是2時(shí)，首位數(shù)字可以為3或4，滿足條件的數(shù)共有2×A12個(gè)當(dāng)末位數(shù)字是4時(shí)，首位數(shù)字是3的有A6個(gè)，首位數(shù)字是2時(shí)，有3個(gè)，共有9個(gè)綜上知，比21034大的偶數(shù)共有1812939個(gè)(3)方法一：可分為兩類：末位數(shù)是0，有A·A4(個(gè))；末位數(shù)是2或4，有A·A4(個(gè))；故共有A·AA·A8(個(gè))方法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有A個(gè)；首位從2,4中取，有A個(gè)；余下的排在剩下的兩位，有A個(gè)，故共有AAA8(個(gè))22(本題滿分14分)已知n(nN*)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求n的展開式中a1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)解析對(duì)于5：Tr1C(4)5rrC·(1)r·45r·5b.若Tr1為常數(shù)項(xiàng)，則105r0，所以r2，此時(shí)得常數(shù)項(xiàng)為T3C·(1)2·43·5127.令a1，得n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n.由題意知2n27，所以n7.對(duì)于7：Tr1C7r·()rC·(1)r·37ra.若Tr1為a1項(xiàng)，則1，所以r3.所以n的展開式中a1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C35.