專題限時集訓(xùn)(十)空間中的平行與垂直關(guān)系建議A、B組各用時：45分鐘A組高考達標(biāo)一、選擇題1(20xx·南昌一模)設(shè)為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A若a，b，則abB若a，ab，則bC.若a，ab，則bD若a，ab，則bBA中，兩直線可能平行、相交或異面，故A錯；B中，由直線與平面垂直的判定定理可知B正確；C中，b可能平行，也可能在內(nèi)，故C錯；D中，b可能平行，也可能在內(nèi)，還可能與相交，故D錯綜上所述，故選B.2(20xx·濟南一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若mn，m，則n；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)為()A1B.2C.3D.4A對于，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于，平面與可能平行或相交，故錯誤；對于，直線n可能平行于平面，也可能在平面內(nèi)，故錯誤；對于，由兩平面平行的判定定理易得平面與平行，故錯誤綜上所述，正確命題的個數(shù)為1，故選A.圖11­53如圖11­5所示，直線PA垂直于O所在的平面，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑，點M為線段PB的中點現(xiàn)有結(jié)論：BCPC；OM平面APC；點B到平面PAC的距離等于線段BC的長其中正確的是()AB.C. D.B對于，PA平面ABC，PABC.AB為O的直徑，BCAC.又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.對于，點M為線段PB的中點，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.對于，由知BC平面PAC，線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故都正確4已知，是兩個不同的平面，有下列三個條件：存在一個平面，；存在一條直線a，a，a；存在兩條垂直的直線a，b，a，b.其中，所有能成為“”的充要條件的序號是()AB.C.D.D對于，存在一個平面，則，反之也成立，即“存在一個平面，”是“”的充要條件，所以對，可排除B，C.對于，存在兩條垂直的直線a，b，則直線a，b所成的角為90°，因為a，b，所以，所成的角為90°， 即，反之也成立，即“存在兩條垂直的直線a，b，a，b”是“”的充要條件，所以對，可排除A，選D.5(20xx·成都二模)在三棱錐P­ABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動點，則下列說法錯誤的是()圖11­6A當(dāng)AEPB時，AEF一定為直角三角形B當(dāng)AFPC時，AEF一定為直角三角形C.當(dāng)EF平面ABC時，AEF一定為直角三角形D當(dāng)PC平面AEF時，AEF一定為直角三角形B因為AP平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB上兩條相交直線，則BC平面PAB，BCAE.當(dāng)AEPB時，AE平面PBC，則AEEF，AEF一定是直角三角形，A正確；當(dāng)EF平面ABC時，EF在平面PBC上，平面PBC與平面ABC相交于BC，則EFBC，則EFAE，AEF一定是直角三角形，C正確；當(dāng)PC平面AEF時，AEPC，又AEBC，則AE平面PBC，AEEF，AEF一定是直角三角形，D正確；B中結(jié)論無法證明，故選B.二、填空題6已知P為ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確命題的個數(shù)是_.【導(dǎo)學(xué)號：85952041】3如圖所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB，但AB不一定垂直于BC.7在三棱錐C­ABD中(如圖11­7)，ABD與CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜邊BD的中點，AB4，二面角A­BD­C的大小為60°，并給出下面結(jié)論：ACBD；ADCO；AOC為正三角形；cos ADC；四面體ABCD的外接球表面積為32.其中真命題是_(填序號)圖11­7由題意知BDCO，BDAO，則BD平面AOC，從而BDAC，故正確；根據(jù)二面角A­BD­C的大小為60°，可得AOC60°，又直線AD在平面AOC的射影為AO，從而AD與CO不垂直，故錯誤；根據(jù)AOC60°，AOCO可得AOC為正三角形，故正確；在ADC中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得cos ADC，故錯誤；由題意知，四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為2，則外接球的表面積為S4×(2)232，故正確8正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐E­ABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.因為AC平面BDD1B1，故，正確；記正方體的體積為V，則VE­ABCV為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤三、解答題9(20xx·北京高考)如圖11­8，在四棱錐P­ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.圖11­8(1)求證：DC平面PAC.(2)求證：平面PAB平面PAC.(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明理由解(1)證明：因為PC平面ABCD，所以PCDC.2分又因為DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.4分(2)證明：因為ABDC，DCAC，所以ABAC.因為PC平面ABCD，所以PCAB.又因為PCACC，所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.10分理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF.又因為E為AB的中點，所以EFPA.又因為PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.14分10(20xx·河南六市模擬)如圖11­9，四棱錐P­ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ABC60°的菱形，M為PC的中點圖11­9(1)求證：PCAD；(2)求點D到平面PAM的距離解(1)證明：法一：取AD中點O，連接OP，OC，AC，依題意可知PAD，ACD均為正三角形，所以O(shè)CAD，OPAD，又OCOPO，OC平面POC，OP平面POC，所以AD平面POC，又PC平面POC，所以PCAD.5分法二：連接AC，AM，DM，依題意可知PAD，ACD均為正三角形，又M為PC的中點，所以AMPC，DMPC，又AMDMM，AM平面AMD，DM平面AMD，所以PC平面AMD，又AD平面AMD，所以PCAD.5分(2)由題可知，點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，由(1)可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，即PO為三棱錐P­ADC的高在RtPOC中，POOC，PC，在PAC中，PAAC2，PC，邊PC上的高AM，所以SPACPC·AM××.8分設(shè)點D到平面PAC的距離為h，由VD­PACVP­ACD得SPAC·hSACD·PO，又SACD×22，所以×·h××，解得h，所以點D到平面PAM的距離為.12分B組名校沖刺一、選擇題1(20xx·烏魯木齊三模)如圖11­10，在多面體ABC­DEFG中，圖11­10平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是邊長為2的正三角形，四邊形DEFG是邊長為4的正方形，M，N分別為AD，BE的中點，則MN()A.B.4C. D.5A如圖，取BD的中點P，連接MP，NP，則MPAB，NPDE，MPAB1，NPDE2.又ACGF，ACNP.CAB60°，MPN120°，MN，故選A.圖11­112如圖11­11，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD.則在三棱錐A­BCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，則CDAB.又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故選D.3(20xx·貴陽二模)如圖11­12，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()圖11­12AO是AEF的垂心 B.O是AEF的內(nèi)心C. O是AEF的外心 D.O是AEF的重心A由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF.POPAP，EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O為AEF的垂心故選A.4(20xx·長沙模擬)如圖11­13，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，圖11­13E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個動點，且EF，則下列結(jié)論中錯誤的是()AACBFB三棱錐A­BEF的體積為定值C.EF平面ABCDD異面直線AE，BF所成的角為定值D對于選項A，連接BD，易知AC平面BDD1B1.BF平面BDD1B1，ACBF，故A正確；對于選項B，AC平面BDD1B1，A到平面BEF的距離不變EF，B到EF的距離為1，BEF的面積不變，三棱錐A­BEF的體積為定值，故B正確；對于選項C，EFBD，BD平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD，故C正確；對于選項D，異面直線AE，BF所成的角不為定值，當(dāng)F與B1重合時，令上底面中心為O，則此時兩異面直線所成的角是A1AO，當(dāng)E與D1重合時，點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，這兩個角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯誤二、填空題5(20xx·衡水二模)如圖11­14，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述：圖11­14AB與DE所成角的正切值是；ABCE；VB­ACEa3；平面ABC平面ACD.其中正確的有_(填序號)作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：ABBCa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE，ABC是異面直線AB，DE所成的角，故正確連接BD，CE，則CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD.又AB平面ABD，CEAB，故錯誤VB­ACEVA­BCESBCE·AD××a2×a，故正確AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD.又BCCD，CDADD，CD，AD平面ACD，BC平面ACD.BC平面ABC，平面ABC平面ACD，故正確故答案為.6(20xx·太原二模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D­ABC，當(dāng)三棱錐D­ABC的體積取最大值時，其外接球的體積為_.【導(dǎo)學(xué)號：85952042】當(dāng)平面DAC平面ABC時，三棱錐D­ABC的體積取最大值此時易知BC平面DAC，BCAD.又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中點O，易得OAOBOCOD1，故O為所求外接球的球心，故半徑r1，體積Vr3.三、解答題7(20xx·四川高考)如圖11­15，在四棱錐P­ABCD中，PACD，圖11­15ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.解(1)取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點.2分理由如下：因為ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.4分又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.6分(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明：由已知，PAAB，PACD，因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.8分因為ADBC，BCAD，M為AD的中點，連接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四邊形BCDM是平行四邊形，10分所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.12分8(20xx·長春二模)已知等腰梯形ABCD(如圖11­16(1)所示)，其中ABCD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點，且ABEF2，CD6，M為BC中點現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線折起，使平面EFCB平面EFDA(如圖11­16(2)所示)，N是線段CD上一動點，且CNND.(1)(2)圖11­16(1)求證：MN平面EFDA；(2)求三棱錐A­MNF的體積解(1)證明：過點M作MPEF于點P，過點N作NQFD于點Q，連接PQ.由題知，平面EFCB平面EFDA，又MPEF，平面EFCB平面EFDAEF，MP平面EFDA.又EFCF，EFDF，CFDFF，EF平面CFD.又NQ平面CFD，NQEF.又NQFD，EFFDF，NQ平面EFDA，MPNQ.2分又CNND，NQCF×32，且MP(BECF)×(13)2，MP綊NQ，四邊形MNQP為平行四邊形.4分MNPQ.又MN平面EFDA，PQ平面EFDA，MN平面EFDA.6分(2)法一：延長DA，CB相交于一點H，則HCB，HDA.又CB平面FEBC，DA平面FEAD.H平面FEBC，H平面FEAD，即H平面FEBC平面FEADEF，DA，F(xiàn)E，CB交于一點H，且HEEF1.8分V三棱錐F­CDHV三棱錐C­HFD·SHFD·CF，又由平面幾何知識得，10分則，V三棱錐A­MNFV三棱錐F­AMN·V三棱錐F­CDH×1.12分法二：V三棱臺BEA­CDF×EF×(SBEASCDF)×2×，V四棱錐A­BEFM×AE×S四邊形BEFM，V三棱錐N­ADF×2×SADF2，V三棱錐N­CFM×1×SCFM，10分V三棱錐A­MNFV三棱臺BEA­CDFV三棱錐N­CFMV四棱錐A­BEFMV三棱錐N­ADF21.12分