第十五章復數(shù)高考導航考試要求重難點擊命題展望1.理解復數(shù)的基本概念、復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義.4.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關系及擴充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴充中的作用.本章重點：1.復數(shù)的有關概念；2.復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.本章難點：運用復數(shù)的有關概念解題.近幾年高考對復數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復習過程中，應將復數(shù)的概念及運算放在首位. 知識網絡15.1復數(shù)的概念及其運算典例精析題型一復數(shù)的概念【例1】 (1)如果復數(shù)(m2i)(1mi)是實數(shù)，則實數(shù)m；(2)在復平面內，復數(shù)對應的點位于第象限； (3)復數(shù)z3i1的共軛復數(shù)為.【解析】 (1)(m2i)(1mi)m2m(1m3)i是實數(shù)1m30m1.(2)因為1i，所以在復平面內對應的點為(1，1)，位于第四象限.(3)因為z13i，所以13i.【點撥】 運算此類題目需注意復數(shù)的代數(shù)形式zabi(a，bR)，并注意復數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)等概念.【變式訓練1】(1)如果z為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于()A.0B.1C.1D.1或1 (2)在復平面內，復數(shù)z(i是虛數(shù)單位)對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)設zxi，x0，則xi1ax(ax)i0或故選D.(2)z(1i)(i)1i，該復數(shù)對應的點位于第三象限.故選C.題型二復數(shù)的相等【例2】(1)已知復數(shù)z032i，復數(shù)z滿足z·z03zz0，則復數(shù)z；(2)已知1ni，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則mni；(3)已知關于x的方程x2(k2i)x2ki0有實根，則這個實根為，實數(shù)k的值為. 【解析】(1)設zxyi(x，yR)，又z032i， 代入z·z03zz0得(xyi)(32i)3(xyi)32i，整理得 (2y3)(22x)i0，則由復數(shù)相等的條件得 解得所以z1. (2)由已知得m(1ni)(1i)(1n)(1n)i.則由復數(shù)相等的條件得所以mni2i.(3)設xx0是方程的實根，代入方程并整理得由復數(shù)相等的充要條件得解得或所以方程的實根為x或x， 相應的k值為k2或k2.【點撥】復數(shù)相等須先化為zabi(a，bR)的形式，再由相等得實部與實部相等、虛部與虛部相等.【變式訓練2】(1)設i是虛數(shù)單位，若abi(a，bR)，則ab的值是()A.B.2C.2D.(2)若(a2i)ibi，其中a，bR，i為虛數(shù)單位，則ab.【解析】(1)C.，于是ab2.(2)3.2aibia1，b2.題型三復數(shù)的運算 【例3】 (1)若復數(shù)zi， 則1zz2z3z2 008；(2)設復數(shù)z滿足z|z|2i，那么z.【解析】 (1)由已知得z2i，z31，z4i z.所以zn具有周期性，在一個周期內的和為0，且周期為3.所以1zz2z3z2 0081z(z2z3z4)(z2 006z2 007z2 008)1zi.(2)設zxyi(x，yR)，則xyi2i，所以解得所以zi. 【點撥】 解(1)時要注意x31(x1)(x2x1)0的三個根為1，其中i，i， 則120， 120 ，31，31，·1，2，2.解(2)時要注意|z|R，所以須令zxyi.【變式訓練3】(1)復數(shù)等于()A. B.C.D.(2)(20xx江西鷹潭)已知復數(shù)z()2 010，則復數(shù)z等于()A.0B.2C.2iD.2i【解析】(1)D.計算容易有. (2)A.總結提高復數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內容之一，復數(shù)代數(shù)形式的運算：加減法按合并同類項法則進行；乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復數(shù)問題只需設zabi(a，bR)代入原式后，就可以將復數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決.