2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布單元測評(píng)B 新人教A版選修2-3 (高考體驗(yàn)卷)(時(shí)間:90分鐘,滿分:100分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2014課標(biāo)全國高考)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析:設(shè)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件A,隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率為P(B|A)=0.8.答案:A2.(2015課標(biāo)全國高考)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析:由條件知該同學(xué)通過測試,即3次投籃投中2次或投中3次.故P=0.62(1-0.6)+0.63=0.648.答案:A3.(2012上海高考改編)設(shè)10x1<x2<x3<x4104,x5=105.隨機(jī)變量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量X2取值的概率也均為0.2.若記D(X1),D(X2)分別為X1,X2的方差,則()A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)解析:因?yàn)镋(X1)和E(X2)相等,且第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的兩兩平均值,所以比第一組更“集中”、更“穩(wěn)定”,根據(jù)方差的概念可得D(X1)>D(X2).答案:A4.(2014云南部分名校聯(lián)考)我校在模塊考試中約有1 000人參加考試,其數(shù)學(xué)考試成績XN(90,2)(>0,試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.600B.400C.300D.200解析:由題意知考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為600,則落在90分到110分之間的人數(shù)約為300,故數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為500-300=200.答案:D5.(2015湖北高考)設(shè)XN(1,),YN(2,),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示,下列結(jié)論中正確的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.對(duì)任意正數(shù)t,P(Xt)P(Yt)D.對(duì)任意正數(shù)t,P(Xt)P(Yt)解析:由曲線X的對(duì)稱軸為x=1,曲線Y的對(duì)稱軸為x=2,可知2>1.P(Y2)<P(Y1),故A錯(cuò);由圖象知1<2且均為正數(shù),P(X2)>P(X1),故B錯(cuò);對(duì)任意正數(shù)t,由題中圖象知,P(Xt)P(Yt),故C正確,D錯(cuò).答案:C6.(2015湖南高考)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772附:若XN(,2),則P(-<X+)=0.682 6,P(-2<X+2)=0.954 4.解析:由于曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線,所以P(-1<X<1)=0.682 6,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性知P(0<X<1)=0.341 3,即圖中陰影部分的面積為0.341 3.由幾何概型知點(diǎn)落入陰影部分的概率P=0.341 3.因此,落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10 000×0.341 3=3 413.故選C.答案:C7.(2013湖北高考)如圖所示,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)等于()A.B.C.D.解析:依題意得X的取值可能為0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故E(X)=×0+×1+×2+×3=.故選B.答案:B8.(2015山東高考)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-<<+)=68.26%,P(-2<<+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%解析:由正態(tài)分布N(0,32)可知,落在(3,6)內(nèi)的概率為=13.59%.答案:B9.(2015陜西省教學(xué)質(zhì)檢一)周老師上數(shù)學(xué)課時(shí),給班里同學(xué)出了兩道選擇題,她預(yù)估計(jì)做對(duì)第一道題的概率為0.80,做對(duì)兩道題的概率為0.60,則預(yù)估計(jì)做對(duì)第二道題的概率為()A.0.80B.0.75C.0.60D.0.48解析:記做對(duì)第一道題為事件A,做對(duì)第二道題為事件B,則P(A)=0.80,P(AB)=0.60,因?yàn)樽鰧?duì)第一道、第二道題這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的,所以P(AB)=P(A)P(B),即P(B)=0.75,故選B.答案:B10.(2014浙江高考)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3,n3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.(a)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為Xi(i=1,2);(b)放入i個(gè)球后,從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則()A.p1>p2,E(X1)<E(X2)B.p1<p2,E(X1)>E(X2)C.p1>p2,E(X1)>E(X2)D.p1<p2,E(X1)<E(X2)解析:p1=,p2=,p1-p2=>0.故p1>p2.X1的可能取值為1,2,P(X1=1)=;P(X1=2)=.故E(X1)=1×+2×.X2的可能取值為1,2,3.P(X2=1)=,P(X2=2)=,P(X2=3)=,故E(X2)=1×+2×+3×=.于是E(X1)-E(X2)=.又m3,n3,E(X1)-E(X2)<0,即E(X1)<E(X2).綜上,應(yīng)選A.答案:A二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中橫線上)11.(2014江西高考)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是. 解析:本題屬于超幾何分布,由超幾何分布概率公式可得所求概率為.答案:12.(2014浙江高考)隨機(jī)變量X的取值為0,1,2.若P(X=0)=,E(X)=1,則D(X)=. 解析:設(shè)P(X=1)=a,P(X=2)=b,則解得所以D(X)=×0+×1=.答案:13.(2015廣東高考)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=. 解析:根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差公式,得解得p=.答案:14.(2014安徽合肥一模)若隨機(jī)變量XN(2,1),且P(X>3)=0.158 7,則P(X>1)=. 解析:由題意可知正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.P(X<1)=P(X>3)=0.158 7,P(X>1)=1-P(X<1)=1-0.158 7=0.841 3.答案:0.841 315.(2014云南部分名校一聯(lián))在昆明市2014屆第一次統(tǒng)測中我校的理科數(shù)學(xué)考試成績XN(90,2)(>0),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60X120)=0.8,假設(shè)我校參加此次考試的有420人,試估計(jì)此次考試中,我校成績高于120分的有人. 解析:因?yàn)閄N(90,2)(>0),且P(60X120)=0.8,所以P(90X120)=0.4.又因?yàn)镻(X90)=0.5,所以P(X120)=0.1,所以0.1×420=42(人).答案:42三、解答題(本大題共4小題,共25分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16.(6分)(2015重慶高考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=.(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.綜上知,X的分布列為X012P故E(X)=0×+1×+2×(個(gè)).17.(6分)(2015福建高考)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一.小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=.(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=×1=,所以X的分布列為X123P所以E(X)=1×+2×+3×.18.(6分)(2015山東高考)若n是一個(gè)三位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動(dòng),求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解:(1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為=84,隨機(jī)變量X的取值為:0,-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-.所以X的分布列為X0-11P則E(X)=0×+(-1)×+1×.19.(7分)(2015安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解:(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,P(A)=.(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=,P(X=300)=,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-.故X的分布列為X200300400PE(X)=200×+300×+400×=350.