2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布本章小結(jié) 新人教 A 版選修 2-3 知識(shí)點(diǎn)一 條件概率 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)， 計(jì)算條件概率時(shí)， 必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率 一般地， 計(jì)算條件概率常有兩種方法： (1)P(B|A)P（AB）P（A）； (2)P(B|A)n（AB）n（A）.在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù) 例 1 有 20 件產(chǎn)品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽 2 件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概率； (3)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率 解析：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B. (1)第一次抽到次品的概率P(A)52014. (2)P(AB)P(A)P(B)119. (3)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為P(B|A)11914419. 知識(shí)點(diǎn)二 求相互獨(dú)立事件的概率 1相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解 2特別注意以下兩公式的使用前提： (1)若A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B)，反之不成立 (2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B)，反之成立 設(shè)對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行三次相互獨(dú)立的射擊，各次的命中率分別為 0.2、0.6、0.3，試求： (1)在三次射擊中恰有一次命中的概率； (2)在三次射擊中至少有一次命中的概率 解析：設(shè)“第i次射擊命中目標(biāo)”為事件Ai(i1，2，3)，由題意A1、A2、A3相互獨(dú)立 (1)恰有一次命中的概率為PP(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.2(10.6)(10.3)(10.2)0.6(10.3)(10.2)(10.6)0.30.488. (2)至少有一次命中的概率為 P1P(A1 A2 A3)1(10.2)(10.6)(10.3)0.776. 知識(shí)點(diǎn)三 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 離散型隨機(jī)變量的期望和方差是隨機(jī)變量中兩種最重要的特征數(shù)， 它們反映了隨機(jī)變量取值的平均值及其穩(wěn)定性，期望與方差在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中有大量的應(yīng)用，關(guān)鍵要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出它們的概率分布列，同時(shí)，要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望與方差的線性性質(zhì)，如E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X) 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量、，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于 6 環(huán)，且甲射中的 10，9，8，7 環(huán)的概率分別為 0.5、3a、a、0.1，乙射中 10，9，8 環(huán)的概率分別為 0.3，0.3，0.2. (1)求、的分布列； (2)求、的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù) 解析：(1)依題意，0.53aa0.11 解得a0.1. 因?yàn)橐疑渲?10，9，8 環(huán)的概率分別為 0.3，0.3，0.2，所以乙射中 7 環(huán)的概率為 1(0.30.30.2)0.2. 所以、的分布列分別為： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E()100.590.380.170.19.2(環(huán))； E()100.390.380.270.28.7(環(huán))； D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96； D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. 由于E()E()，說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高； 又因?yàn)镈()D()，說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定所以，甲比乙的技術(shù)好 知識(shí)點(diǎn)四 正態(tài)分布 對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題， 課標(biāo)要求不是很高， 只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)， 主要是： (1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式； (2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)； (3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率 某地?cái)?shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布， 某密度函數(shù)曲線如下圖所示， 成績(jī)X位于區(qū)間(52，68的概率為多少？ 解析：設(shè)成績(jī)XN(，2)， 則正態(tài)分布的密度函數(shù)，(x)12e， 由圖可知，60，8.P(52X68)P(|X60|8)P(|X|)0.682 6. 一、選擇題 1(2013廣東卷)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)(A) A.32 B2 C.52 D3 解析：E(X)13523103110151032，故選 A. 2(2013景德鎮(zhèn)高二期末)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下： X 0 1 P m 2m 則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于(B) A.19 B.29 C.13 D.23 解析：由m2m1 得，m13，E(X)01312323，D(X)02321312322329，故選 B. 3若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是10，12，則該隨機(jī)變量的方差等于(C) A10 B100 C.2 D.2 解析：由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn)10，12知1212，D(X)22. 4(2014蘭州一診)隨機(jī)變量X的分布列為： X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X4)等于(A) A15 B11 C2.2 D2.3 解析：E(X)10.420.340.32.2，E(5X4)5E(X)411415. 能力提升 5甲射擊命中目標(biāo)的概率是12，乙命中目標(biāo)的概率是13，丙命中目標(biāo)的概率是14，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率是(A) A.34 B.23 C.45 D.710 6已知一次考試共有 60 名同學(xué)參加，考生成績(jī)XN(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約有 57 人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為(C) A(90，100 B(95，125 C(100，120 D(105，115 解析：因?yàn)閄N(110，52)，所以110，5.57600.95P(2X2)P(100X120)，所以X(100，120故選 C. 7把 10 個(gè)骰子全部投出，設(shè)出現(xiàn) 6 點(diǎn)的骰子的個(gè)數(shù)為X，則P(X2)(D) AC210162568 BC110165695610 CC11016569C210126568 D以上都不對(duì) 解析：P(X2)P(X0)P(X1)P(X2)C0101605610C11016569C210162568.故選 D. 8(2014成都調(diào)研)已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量X為“|ab|的取值”，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)為(A) A.89 B.35 C.25 D.13 解析：對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號(hào))的拋物線有 2C13C13C17126(條)，X的可能取值有 0，1，2.P(X0)6712613，P(X1)8712649，P(X2)4712629，故E(X)01314922989. 9將一顆骰子連擲 100 次，則點(diǎn) 6 出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)_ 解析：這是 100 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，XB100，16，E(X)10016503. 答案：503 10某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E()8.9，則y的值為_(kāi) 解析：由分布列可得x0.6y且 7x0.82.710y8.9，解得y0.4. 答案：0.4 11將一個(gè)大正方形平均分成 9 個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè) 3 個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面 3 個(gè)小正方形或正中間的 1 個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)_ 解析：根據(jù)幾何概型，得P(AB)19，P(B)49，所以P(A|B)P（AB）P（B）14. 答案：14 12(2014浙江卷)隨機(jī)變量的取值為 0，1，2.若P(0)15，E()1，則D()_ 解析：設(shè)P(1)x，P(2)y， 則xy45，x2y1x35，y15， 所以D()(01)215(11)235(21)21525. 答案：25 13 (2013廣東珠海高二下學(xué)期期末)在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中， 假設(shè)某 6 張券中有一等獎(jiǎng)券1 張， 可獲價(jià)值 50 元的獎(jiǎng)品； 有二等獎(jiǎng)券 1 張， 每張可獲價(jià)值 20 元的獎(jiǎng)品； 其余 4 張沒(méi)有獎(jiǎng) 某顧客從此 6 張中任抽 1 張，求： (1)該顧客中獎(jiǎng)的概率； (2)該顧客參加此活動(dòng)可能獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值的期望值 解析：(1)P2613，即該顧客中獎(jiǎng)的概率為13. (2)X的所有可能值為：0，20，50(元)， 且P(X0)C14C164623，P(X20)C11C1616，P(X50)C11C1616， 故X的分布列為： X 0 20 50 P 23 16 16 E(X)02320165016706353. 所以該顧客參加此活動(dòng)可能獲得獎(jiǎng)品價(jià)值的期望值是353元 14 壇子里放著 5 個(gè)相同大小、 相同形狀的咸鴨蛋， 其中有 3 個(gè)是綠皮的， 2 個(gè)是白皮的 如果不放回地依次拿出 2 個(gè)鴨蛋，求： (1)第一次拿出綠皮鴨蛋的概率； (2)第 1 次和第 2 次都拿到綠皮鴨蛋的概率； (3)在第 1 次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第 2 次拿出綠皮鴨蛋的概率 解析：設(shè)第 1 次拿出綠皮鴨蛋為事件A，第 2 次拿出綠皮鴨蛋為事件B，則第 1 次和第 2 次都拿出綠皮鴨蛋為事件AB. (1)從 5 個(gè)鴨蛋中不放回地依次拿出 2 個(gè)的基本事件數(shù)為()A2520. 又(A)A13A1412. 于是P(A)（A）（）122035. (2)因?yàn)?AB)A236， 所以P(AB)（AB）（）620310. (3)解法一：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第 2 次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)P（AB）P（A）3103512. 解法二：因?yàn)?AB)6，(A)12， 所以P(B|A)（AB）（A）61212. 15(2014甘肅省三診)甲、乙、丙、丁 4 名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué) (1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率； (3)設(shè)隨機(jī)變量為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求的分布列和E()的值 解析：(1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)A22C24A33118， 即甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)的概率是118. (2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么 P(E)A33C24A3316， 所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是 P(E)1P(E)56. (3)隨機(jī)變量可能取的值為 1，2.事件“i(i1，2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)，則p(2)C24A22C24A3313. 所以p(1)1p(2)23， 的分布列是： 1 2 p 23 13 E()12321343. 16(2014陜西卷)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為 1000 元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概 率 0.5 0.5 作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg) 6 10 概 率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示在這塊地上種植 1 季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列； (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物， 求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率 解析：(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為 300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為 6 元/kg”， 由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4， 利潤(rùn)產(chǎn)量 市場(chǎng)價(jià)格成本， X所有可能的取值為 5001010004000，500610002000， 3001010002000，30061000800. P(X4000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3， P(X2000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5， P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2， 所以X的分布列為： X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于 2000 元”(i1，2，3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1，2，3)，3 季的利潤(rùn)均不少于 2000 元的概率為 P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512； 3 季中有 2 季利潤(rùn)不少于 2000 元的概率為 P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以，這 3 季中至少有 2 季的利潤(rùn)不少于 2000 元的概率為 0.5120.3840.896.