2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)章末分層突破,自我校對(duì)散點(diǎn)圖x殘差圖相關(guān)指數(shù)等高條形圖 線性回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法根據(jù)兩個(gè)變量的一組觀測(cè)值，可以畫出散點(diǎn)圖或利用相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，可得出線性回歸直線方程利用公式求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)求時(shí)，利用公式，先求出(x1x2x3xn)，(y1y2y3yn)再由 求的值，并寫出回歸直線方程(2)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本的中心點(diǎn)(，)(3)回歸直線方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)得來(lái)的，存在誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差(4)回歸直線方程x中的表示x每增加1個(gè)單位時(shí)預(yù)報(bào)變量y的平均變化量，而表示預(yù)報(bào)變量y不隨x的變化而變化的部分(5)在一元線性回歸模型中，相關(guān)指標(biāo)R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果|r|越大，R2就越大，用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得6.5，(1)求y與x的線性回歸方程；(2)現(xiàn)有第二個(gè)線性模型：7x17，且R20.82.若與(1)的線性模型比較，哪一個(gè)線性模型擬合效果比較好，請(qǐng)說(shuō)明理由【規(guī)范解答】(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為6.5x.5，50，6.5x經(jīng)過(guò)(，)，506.5×5，17.5，y與x的線性回歸方程為6.5x17.5.(2)由(1)的線性模型得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020所以(yii)2(0.5)2(3.5)2(10)2(6.5)20.52155.(yi)2(20)2(10)2102022021 000.所以R110.845.由于R0.845，R20.82知R>R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好再練一題1(2016·長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知某連鎖經(jīng)營(yíng)公司的5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表：商店名稱ABCDE銷售額x(千萬(wàn)元)35679利潤(rùn)額y(千萬(wàn)元)23345(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求利潤(rùn)額y與銷售額x之間的線性回歸方程；(3)若該公司還有一個(gè)零售店某月銷售額為10千萬(wàn)元，試估計(jì)它的利潤(rùn)額是多少(參考公式：，.其中，iyi112，200)【解】(1)散點(diǎn)圖(2)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得n5，6，3.4，0.5，3.40.5×60.4.則線性回歸方程為0.5x0.4.(3)將x10代入線性回歸方程中得到0.5×100.45.4(千萬(wàn)元)即估計(jì)該零售店的利潤(rùn)額約為5.4千萬(wàn)元非線性回歸分析一般地，有些非線性回歸模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系具體處理方法為：(1)描點(diǎn)，選模畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)(2)解模先對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來(lái)解模(3)比較檢驗(yàn)通過(guò)回歸分析比較所建模型的優(yōu)劣常見(jiàn)的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)冪型函數(shù)yaxm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對(duì)yaxm兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)g ylg amlg x，令ulg y，vlg x，則原式可變?yōu)閡mvlg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)(2)指數(shù)型函數(shù)ycax(a，c>0，且a1)解決方案：對(duì)ycax兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)g ylg cxlg a，令ulg y，則原式可變?yōu)閡xlg alg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對(duì)數(shù)lg y代替了y.(3)反比例函數(shù)y(k>0)解決方案：令u，則yku，該式表示y，u的線性函數(shù)(4)二次函數(shù)yax2c解決方案：令ux2，則原函數(shù)可變?yōu)閥auc，該式表示y，u的線性函數(shù)(5)對(duì)數(shù)型函數(shù)yclogax解決方案：令xau，則原函數(shù)可變?yōu)閥cu，該式表示y，u的線性函數(shù)某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15作出x與y的散點(diǎn)圖，判斷x與y之間的關(guān)系，并建立y與x的回歸方程【精彩點(diǎn)撥】首先作出x與y的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖特征，判斷x與y的關(guān)系并建立y與x的回歸方程【規(guī)范解答】散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知，該散點(diǎn)圖與反比例函數(shù)圖象擬合得最好于是，作變量變換u，問(wèn)題所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的10對(duì)數(shù)據(jù)：ui10.50.330.20.1yi10.155.524.082.852.11ui0.050.030.020.010.005yi1.621.411.301.211.15然后作相關(guān)性檢驗(yàn)：r0.999 8，我們認(rèn)為u與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由y對(duì)u的回歸方程有意義，通過(guò)計(jì)算可知8.973，1.125，故回歸直線方程為8.973u1.125，最后代回u可得，1.125.再練一題2一個(gè)昆蟲的某項(xiàng)指標(biāo)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/2345678某項(xiàng)指標(biāo)y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801試建立某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果【解】畫出散點(diǎn)圖如圖所示，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線yBx2A的周圍令Xx2，則變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在ybXa(bB，aA)的周圍由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項(xiàng)指標(biāo)y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801計(jì)算得到線性回歸方程為0.199 94X4.999 03.用x2替換X，得某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸方程0.199 94x24.999 03.計(jì)算得R20.999 997，幾乎為1，說(shuō)明回歸模型的擬合效果非常好獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表(2)根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷(2016·池州高二檢測(cè))為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果是：患胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共260人，未患胃病者生活規(guī)律的共200人(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；(2)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律是否有關(guān)【精彩點(diǎn)撥】(1)解決本題關(guān)鍵是首先弄清問(wèn)題中的兩個(gè)分類變量及其取值分別是什么，其次掌握2×2列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征(2)利用2×2列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表來(lái)分析相關(guān)性的大小【規(guī)范解答】(1)由已知可列2×2列聯(lián)表如下：患胃病未患胃病總計(jì)生活規(guī)律20200220生活不規(guī)律60260320總計(jì)80460540(2)根據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測(cè)值為k9.638.因?yàn)?.638>7.879，因此，我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病和生活規(guī)律有關(guān)再練一題3(2016·威海高二檢測(cè))為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生5女生10總計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為0.6.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過(guò)程)；(2)能否有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由(參考公式：K2，其中nabcd)【解】(1)依題意可知喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的人數(shù)為30.列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050(2)因?yàn)閗8.333>6.635，所以，有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān).1(2014·重慶高考)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4【解析】因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.【答案】A2(2015·福建高考)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程x，其中0.76，.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A11.4萬(wàn)元 B11.8萬(wàn)元C12.0萬(wàn)元 D12.2萬(wàn)元【解析】由題意知，10，8，80.76×100.4，當(dāng)x15時(shí)，0.76×150.411.8(萬(wàn)元)【答案】B3(2014·湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為bxa，則()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線bxa的斜率b0，當(dāng)x0時(shí)，a0.故a0，b0.【答案】B4(2015·山東東營(yíng)二模)某商品的銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)存在線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為10x200，則下列結(jié)論正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B若r表示變量y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，則r10C當(dāng)銷售價(jià)格為10元時(shí)，銷售量為100件D當(dāng)銷售價(jià)格為10元時(shí)，銷售量為100件左右【解析】當(dāng)銷售價(jià)格為10元時(shí)，10×10200100，即銷售量為100件左右，選D.【答案】D