人教版高中數(shù)學(xué)精品資料第一課時兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用預(yù)習(xí)課本P26，思考并完成以下問題1什么是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理？2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？1分類加法計數(shù)原理2分步乘法計數(shù)原理點睛兩個原理的區(qū)別區(qū)別一每類方法都能獨立完成這件事它是獨立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就完成任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)、也不能遺漏1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成()答案：(1)(2)(3)(4)2某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有()A1種B2種C3種 D4種答案：C3從10名任課教師，54名同學(xué)中，選1人參加元旦文藝演出，共有_種不同的選法答案：644一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有_種不同的取法答案：48分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用典例在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_解析(1)法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8765432136(個)法二：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位是9，則十位可以是1,2,3，8中的一個，故共有8個；個位是8，則十位可以是1,2,3，7中的一個，故共有7個；同理，個位是7的有6個；個位是2的有1個由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8765432136(個)答案36一題多變1變條件若本例條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個解：當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個，當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1357925(個)2變條件，變設(shè)問用1,2,3這3個數(shù)字可以寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)_個解析：分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個；第二類為兩位整數(shù)，有12,21,23,32,13,31，共6個；第三類為三位整數(shù)，有123,132,231,213,321,312，共6個，共寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)36615個答案：15利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用典例從1,2,3,4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)解(1)三位數(shù)有三個數(shù)位， 故可分三個步驟完成：第1步，排個位，從1,2,3,4中選1個數(shù)字，有4種方法；第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法；第3步，排百位，從剩下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法依據(jù)分步乘法計數(shù)原理， 共有43224個滿足要求的三位數(shù)(2)分三個步驟完成：第1步，排個位，從2,4中選1個，有2種方法；第2步，排十位，從余下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法；第3步，排百位，只能從余下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法故共有23212個三位數(shù)的偶數(shù)利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程活學(xué)活用某商店現(xiàn)有甲種型號電視機10臺， 乙種型號電視機8臺， 丙種型號電視機12臺， 從這三種型號的電視機中各選1臺檢驗， 有多少種不同的選法？解：從這三種型號的電視機中各選1臺檢驗可分三步完成：第一步，從甲種型號中選1臺，有10種不同的選法；第二步，從乙種型號中選1臺，有8種不同的選法；第三步，從丙種型號中選1臺，有12種不同的選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有10812960種兩個計數(shù)原理的簡單綜合應(yīng)用典例在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？解選參加象棋比賽的學(xué)生有兩種方法：在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學(xué)生也有兩種選法：在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選互相搭配，可得四類不同的選法從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有326種選法；從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有326種選法；從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽有224種選法；2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法共有664218種選法所以共有18種不同的選法利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法(2)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律(3)綜合問題一般是先分類再分步活學(xué)活用某地政府召集5家企業(yè)的負責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種？解：分兩類：第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有2612(種)情況；另一類是3人全來自其余4家企業(yè)，共有4種情況根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12416(種)情況層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1從甲地到乙地一天有汽車8班，火車3班，輪船2班，某人從甲地到乙地，他共有不同的走法數(shù)為()A13種B16種C24種 D48種解析：選A應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，不同走法數(shù)為83213(種)2已知x2,3,7，y31，24,4，則(x，y)可表示不同的點的個數(shù)是()A1 B3C6 D9解析：選D這件事可分為兩步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一個值x有3種方法；第二步，在集合31，24,4中任取一個值y有3種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有339個不同的點3甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，則甲、乙所選的課程不相同的選法共有()A6種 B12種C30種 D36種解析：選B甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，由分步乘法計數(shù)原理，可得甲、乙所選的課程不相同的選法有4312種4已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16C13 D10解析：選C分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面故可以確定8513個不同的平面5給一些書編號，準(zhǔn)備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復(fù))，則不同編號的書共有()A8本 B9本C12本 D18本解析：選D需分三步完成，第一步首字符有2種編法，第二步，第二個字符有3種編法，第三步，第三個字符有3種編法，故由分步乘法計數(shù)原理知不同編號共有23318種6一個禮堂有4個門，若從任一個門進，從任一門出，共有不同走法_種解析：從任一門進有4種不同走法，從任一門出也有4種不同走法，故共有不同走法4416種答案：167將三封信投入4個郵箱，不同的投法有_種解析：第一封信有4種投法，第二封信也有4種投法，第三封信也有4種投法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同投法4364種答案：648如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_種解析：按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類：第1類，脫落1個，有1,4，共2種；第2類，脫落2個，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種；第3類，脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種；第4類，脫落4個，有(1,2,3,4)，共1種根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有264113種焊接點脫落的情況答案：139若x，yN*，且xy6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)解：按x的取值進行分類：x1時，y1,2，5，共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對；x2時，y1,2，4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對；x5時，y1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N5432115個有序自然數(shù)對10現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組(1)選其中一人為負責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解：(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法所以共有不同的選法N7891034(種)(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長所以共有不同的選法N789105 040(種)(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法所以，共有不同的選法N787971089810910431(種)層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1(a1a2)(b1b2)(c1c2c3)完全展開后的項數(shù)為()A9B12C18 D24解析：選B每個括號內(nèi)各取一項相乘才能得到展開式中的一項，由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為223122(2016全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18C12 D9解析：選B由題意可知EF有6種走法，F(xiàn)G有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共6318種走法，故選B3如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以從分開不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A26 B24C20 D19解析：選D因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類計數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：1253,1264,1267,1286，故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上信息量的和：346619，故選D44名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A BC D解析：選D4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有2416(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，所求概率為15圓周上有2n個等分點(n大于2)，任取3個點可得一個三角形，恰為直角三角形的個數(shù)為_解析：先在圓周上找一點，因為有2n個等分點，所以應(yīng)有n條直徑，不過該點的直徑應(yīng)有n1條，這n1條直徑都可以與該點形成直角三角形，即一個點可形成n1個直角三角形，而這樣的點有2n個，所以一共可形成2n(n1)個符合條件的直角三角形答案：2n(n1)6將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有_種解析：將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143,3142,4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應(yīng)著3種填法，因此共有填法為339(種)答案：97某校高二共有三個班，各班人數(shù)如下表男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高二(1)班302050高二(2)班303060高二(3)班352055(1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？解：(1)從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有3類不同的方案：第1類，從高二(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高二(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高二(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有506055165種不同的選法(2)從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有3類不同的方案：第1類，從高二(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高二(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高二(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30302080種不同的選法8已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中ai，bj(i1,2,3,4，j1,2)均為實數(shù)(1)從集合A到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射？(2)能構(gòu)成多少個以集合A為定義域，集合B為值域的不同函數(shù)？解：(1)因為集合A中的每個元素ai(i1,2,3,4)與集合B中元素的對應(yīng)方法都有2種，由分步乘法計數(shù)原理，可構(gòu)成AB的映射有N2416個(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均對應(yīng)同一元素b1或b2的情形此時構(gòu)不成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)，這樣的映射有2個所以構(gòu)成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)有M16214個