2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 正態(tài)分布 預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 P7074，思考并完成以下問(wèn)題思考并完成以下問(wèn)題 1什么是正態(tài)曲線和正態(tài)分布？什么是正態(tài)曲線和正態(tài)分布？ 2正態(tài)曲線有什么特點(diǎn)？正態(tài)曲線有什么特點(diǎn)？ 3正態(tài)曲線正態(tài)曲線 ，(x)中參數(shù)中參數(shù) ， 的意義是什么？的意義是什么？ 新知初探新知初探 1正態(tài)曲線及其性質(zhì)正態(tài)曲線及其性質(zhì) (1)正態(tài)曲線：正態(tài)曲線： 函數(shù)函數(shù) ，(x)12e x 222，x(，)，其中實(shí)數(shù)，其中實(shí)數(shù) ，(0)為為參數(shù)，我們稱參數(shù)，我們稱，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線 (2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：正態(tài)曲線的特點(diǎn)： 曲線位于曲線位于 x 軸軸上方上方，與，與 x 軸不相交；軸不相交； 曲線是單峰的，它關(guān)于直線曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x 對(duì)稱；對(duì)稱； 曲線在曲線在 x 處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值1 2； 曲線與曲線與 x 軸之間的面積為軸之間的面積為 1； 當(dāng)當(dāng) 一定時(shí)，曲線的位置由一定時(shí)，曲線的位置由 確定，曲線隨著確定，曲線隨著 的變化而沿的變化而沿 x 軸平移；軸平移； 當(dāng)當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由一定時(shí)，曲線的形狀由 確定，確定， 越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越，表示總體的分布越集集中中； 越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越，表示總體的分布越分散分散，如圖所示，如圖所示 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 正態(tài)曲線正態(tài)曲線 ，(x)中中， 參數(shù)參數(shù) 是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)， 可以用可以用樣本均值樣本均值 E(X)去估計(jì)去估計(jì)； 是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 D X 去估計(jì)去估計(jì) 2正態(tài)分布正態(tài)分布 (1)如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a，b(ab)，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量 X 滿足滿足 P(aXb)ab，(x)dx，則稱隨機(jī)，則稱隨機(jī)變量變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 (2)正態(tài)分布完全由參數(shù)正態(tài)分布完全由參數(shù) 和和 確定，因此正態(tài)分布常記作確定，因此正態(tài)分布常記作 N(，2)如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布，則記為服從正態(tài)分布，則記為 XN(，2) 3正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 (1)P(X)0682_6； (2)P(2X2)0954_4； (3)P(3X3)0997_4 小試身手小試身手 1判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”“”) (1)函數(shù)函數(shù) ，(x)中參數(shù)中參數(shù) ， 的意義分別是樣本的均值與方差的意義分別是樣本的均值與方差( ) (2)正態(tài)曲線是單峰的，其與正態(tài)曲線是單峰的，其與 x 軸圍成的面積是隨參數(shù)軸圍成的面積是隨參數(shù) ， 的變化而變化的的變化而變化的( ) (3)正態(tài)曲線可以關(guān)于正態(tài)曲線可以關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2若若 N 1，14，6，則，則 E()等于等于( ) A1 B32 C6 D36 答案：答案：C 3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 N(，2), 且且 P(c)P(c), 則則 c 等于等于( ) A0 B C D 答案：答案：D 正態(tài)曲線及其性質(zhì)正態(tài)曲線及其性質(zhì) 典例典例 某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中， 甲、 乙、 丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示甲、 乙、 丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示(由由于人數(shù)眾多，于人數(shù)眾多， 成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布), 則由如圖曲線可則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的一得下列說(shuō)法中正確的一項(xiàng)是項(xiàng)是( ) A甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小 B丙科總體的平均數(shù)最小丙科總體的平均數(shù)最小 C乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中 D甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同 解析解析 由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值均值)相等，相等， 由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)， 可知由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)， 可知 越大，越大， 正態(tài)曲線越扁平；正態(tài)曲線越扁平； 越小，越小， 正態(tài)曲線越尖陡，正態(tài)曲線越尖陡， 故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙次為甲、乙、丙 故選故選 A 答案答案 A 利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù) ， (1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x 對(duì)稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求對(duì)稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求 (2)正態(tài)曲線在正態(tài)曲線在 x 處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值1 2，由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求，由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求 (3)由由 的大小區(qū)分曲線的胖瘦的大小區(qū)分曲線的胖瘦 活學(xué)活用活學(xué)活用 若一個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為若一個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14 2，求該正態(tài)分布的，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式概率密度函數(shù)的解析式 解：解：由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)， 所以正態(tài)曲線關(guān)于所以正態(tài)曲線關(guān)于 y 軸對(duì)稱，即軸對(duì)稱，即 0，而正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的最大值是，而正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的最大值是14 2，所以所以1214 2， 解得解得 4 故函數(shù)的解故函數(shù)的解析式為析式為 ，(x)14 2 ex232，x(，) 利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率 典例典例 設(shè)設(shè) XN(1,22)，試求：，試求： (1)P(1X3)；(2)P(3X5) 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?XN(1,22)，所以，所以 1，2 (1)P(1X3)P(12X12) P(X)0682 6 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?P(3X5)P(3X1)， 所以所以 P(3X5)12P(3X5)P(1X3) 12P(14X14)P(12X12) 12P(2X2)P(X) 12(0954 40682 6)0135 9 正態(tài)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略正態(tài)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略 (1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與 x 軸之間面積為軸之間面積為 1 (2)熟記熟記 P(X)，P(2X2), P(3X3)的值的值 (3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：注意概率值的求解轉(zhuǎn)化： P(Xa)1P(Xa)； P(Xa)P(Xa)； 若若 b，則，則 P(Xb)1P bXb 2 活學(xué)活用活學(xué)活用 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 XN(2，2)，若，若 P(Xa)032，則，則 P(aX4a)_ 解析：解析：由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性可得：由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性可得： P(aX4a)12P(Xc1)P(Xc1) (1)求求 c 的值；的值； (2)求求 P(4c1)P(Xc1)，故有，故有 2(c1)(c1)2，c2 (2)P(4X8)P(223X223)P(2X2)0954 4 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 典例典例 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)?cè)谀炒螖?shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī) X 服從一個(gè)正態(tài)分布，即服從一個(gè)正態(tài)分布，即 XN(90,100) (1)試求考試成績(jī)?cè)嚽罂荚嚦煽?jī) X 位于區(qū)間位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？上的概率是多少？ (2)若這次考試共有若這次考試共有 2 000 名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)诿忌?，試估?jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人？間的考生大約有多少人？ 解解 XN(90,100)，90， 10010 (1)由于由于 X 在區(qū)間在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率是內(nèi)取值的概率是 0954 4，而該正態(tài)分布中，而該正態(tài)分布中，29021070，290210110， 于是考試成績(jī)于是考試成績(jī) X 位于區(qū)間位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是內(nèi)的概率就是 0954 4 (2)由由 90，10，得，得 80，100 由于變量由于變量 X 在區(qū)間在區(qū)間(，)內(nèi)取值的概率是內(nèi)取值的概率是 0682 6， 所以考試成績(jī)所以考試成績(jī) X 位于區(qū)間位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概內(nèi)的概率是率是 0682 6，一共有，一共有 2 000 名考生，名考生， 所以考試成績(jī)?cè)谒钥荚嚦煽?jī)?cè)?80,100)間的考生大約有間的考生大約有 2 0000682 61 365(人人) 正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略 解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(， ), (2， 2), (3， 3)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想歸思想及數(shù)形結(jié)合思想 活學(xué)活用活學(xué)活用 1某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時(shí)間某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分單位：分)服從服從 XN(50,102)，則他在時(shí)間段則他在時(shí)間段(30,70)內(nèi)趕到火車站的概率為內(nèi)趕到火車站的概率為_(kāi) 解析：解析：XN(50,102)，50，10 P(30X70)P(2X2)0954 4 答案：答案：0954 4 2某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(4,0052)，質(zhì)量檢查人員從該，質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的廠生產(chǎn)的 1 000 個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外直徑為個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外直徑為 37 cm，該廠生產(chǎn)的這批零件，該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？是否合格？ 解：解：由于由于 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(4,0052)， 由正態(tài)分布的性質(zhì)，可知由正態(tài)分布的性質(zhì)，可知 正態(tài)分布正態(tài)分布 N(4,0052)在在(43005,43005)之外的取值的概率只有之外的取值的概率只有 0003， 37 (385,4,15)， 這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為該批零件這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為該批零件是不合格的是不合格的 層級(jí)一層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1關(guān)于正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)分布 N(，2)，下列說(shuō)法正確的是，下列說(shuō)法正確的是( ) A隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為 3 的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件 B隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為 6 的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件 C隨機(jī)變量落在隨機(jī)變量落在(3，3)之外是一個(gè)小概率事件之外是一個(gè)小概率事件 D隨機(jī)變量落在隨機(jī)變量落在(3，3)之外是一個(gè)小概率事件之外是一個(gè)小概率事件 解析：解析：選選 D P(3X3 或或 X3)1P(3X0)和和 N(2，22)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有( ) A12，12 B12 C12，12，12 解解析：析：選選 A 反映的是正態(tài)分布的平均水平，反映的是正態(tài)分布的平均水平，x 是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，由圖是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，由圖可知可知 12; 反映的正態(tài)分布的離散程度，反映的正態(tài)分布的離散程度， 越大，越大， 越分散，越分散， 曲線越曲線越“矮胖矮胖”， 越小，越小，越集中，曲線越越集中，曲線越“瘦高瘦高”， 由圖可知由圖可知 1p2 Bp1p2 Cp1p2 D不確定不確定 解析：解析：選選 C 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性及題意知：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性及題意知：0，1，所以曲線關(guān)于直線，所以曲線關(guān)于直線 x0 對(duì)對(duì)稱，所以稱，所以 p1p2 5已知一次考試共有已知一次考試共有 60 名同學(xué)參加，考生的成績(jī)名同學(xué)參加，考生的成績(jī) XN(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57 人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)( ) A(90,110 B(95,125 C(100,120 D(105,115 解析：解析：選選 C 由于由于 XN(110,52)，所以，所以 110，5，因此考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間，因此考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別應(yīng)是上的概率分別應(yīng)是 0682 6,0954 4,0997 4，由于一共有，由于一共有 60 人參加考人參加考試，試，成績(jī)位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：成績(jī)位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：600682 641 人，人，600954 457 人，人，600997 460 人人 6已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(2，2)，則，則 P(X2)_ 解析：解析：由題意知曲線關(guān)于由題意知曲線關(guān)于 x2 對(duì)稱，因此對(duì)稱，因此 P(X4)p，則，則 P(2X4)_ 解析：解析：由由 XN(3,1)，得，得 3，所以，所以 P(3X4)12p，即，即 P(2X4)2P(3X4)12p 答案：答案：12p 8設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN(，2)，且，且 P(X2)p，則，則 P(0X1)_ 解析：解析：隨機(jī)變量隨機(jī)變量 XN(，2)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，x 是圖象的對(duì)稱軸，是圖象的對(duì)稱軸，P(X2)p，P(X0)p，則，則 P(0X1)12p 答案：答案：12p 9設(shè)設(shè) XN(3,42)，試求：，試求： (1)P(1X7)；(2)P(7X11)；(3)P(X11) 解：解：XN(3,42)，3，4 (1)P(1X7)P(34X34)P(X) 0682 6 (2)P(7X11)P(5X1)， P(7X11)12P(5X11)P(1X7) 12P(38X38)P(34X34) 12P(2X2)P(X) 12(0954 40682 6)0135 9 (3)P(X11)P(X5)， P(X11)121P(5X11)121P(38X38) 121P(2X2)12(10954 4)0022 8 10生產(chǎn)工藝過(guò)程中產(chǎn)品的尺寸偏差生產(chǎn)工藝過(guò)程中產(chǎn)品的尺寸偏差 X(mm)N(0,22)，如果產(chǎn)品的尺寸與現(xiàn)實(shí)的尺寸，如果產(chǎn)品的尺寸與現(xiàn)實(shí)的尺寸偏差的絕對(duì)值不超過(guò)偏差的絕對(duì)值不超過(guò) 4 mm 的為合格品，求生產(chǎn)的為合格品，求生產(chǎn) 5 件產(chǎn)品的合格率不小于件產(chǎn)品的合格率不小于 80%的概率的概率(精精確到確到 0001) 解：解：由題意由題意 XN(0,22)， 求得求得 P(|X|4)P(4X4)0954 4 設(shè)設(shè) Y 表示表示 5 件產(chǎn)品中合格品個(gè)數(shù)，件產(chǎn)品中合格品個(gè)數(shù)， 則則 YB(5,0954 4)， 所以所以 P(Y508)P(Y4) C45 (0954 4)40045 6C55 (0954 4)5 0189 20791 90981 故生產(chǎn)的故生產(chǎn)的 5 件產(chǎn)品的合格率不小于件產(chǎn)品的合格率不小于 80%的概率約為的概率約為 0981 層級(jí)二層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1某廠生產(chǎn)的零件外徑某廠生產(chǎn)的零件外徑 N(10,004)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得其外徑分別為測(cè)得其外徑分別為 99 cm,93 cm，則可認(rèn)為，則可認(rèn)為( ) A上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常 B上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常 C上午、下午生產(chǎn)情況均正常上午、下午生產(chǎn)情況均正常 D上午、下午生產(chǎn)情況均異常上午、下午生產(chǎn)情況均異常 解析：解析：選選 A 因測(cè)量值因測(cè)量值 為隨機(jī)變量，又為隨機(jī)變量，又 N(10,004)，所以，所以 10，02，記，記 I(3，3)(94,106)，99I,93 I，故選，故選 A 2已知某批材料的個(gè)體強(qiáng)度已知某批材料的個(gè)體強(qiáng)度 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(200,182)，現(xiàn)從中任取一件，則取得的，現(xiàn)從中任取一件，則取得的這件材料的強(qiáng)度高于這件材料的強(qiáng)度高于 182 但不高于但不高于 218 的概率為的概率為( ) A0997 3 B0682 6 C0841 3 D0815 9 解析：解析：選選 B 由題意知由題意知 200，18，182，218，由，由 P(X)0682 6 知，答案應(yīng)選知，答案應(yīng)選 B 3已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(，2)，且，且 P(2X2)0954 4，P(X)0682 6，若，若 4，1，則，則 P(5X6)等于等于( ) A0135 8 B0135 9 C0271 6 D0271 8 解析：解析：選選 B 由題意可知由題意可知 P(5X6)12P(2X6)P(32)1212P(01)12(108)01 答案：答案：01 6設(shè)某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量設(shè)某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量 X(單位為：元單位為：元)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得得 XN(520,14 400)，從該城市私家車中隨機(jī)選取容量為，從該城市私家車中隨機(jī)選取容量為 10 000 的樣本，其中每月汽油費(fèi)的樣本，其中每月汽油費(fèi)用在用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有之間的私家車估計(jì)有_輛輛 解析：解析： 由已知得：由已知得： 520， 120， P(400X640)P(520120X520120)0 682 6，每月汽油費(fèi)用在每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有：之間的私家車估計(jì)有：0682 610 0006 826 答案：答案：6 826 7某個(gè)工廠的工人月收入服從正態(tài)分布某個(gè)工廠的工人月收入服從正態(tài)分布 N(2 500,202)，該工廠共有，該工廠共有 1 200 名工人，試估名工人，試估計(jì)月收入在計(jì)月收入在 2 440 元以下和元以下和 2 560 元以上的工人大約有多少人？元以上的工人大約有多少人？ 解：解：設(shè)該工廠工人的月收入為設(shè)該工廠工人的月收入為 ，則，則 N(2 500,202)， 所以所以 2 500，20， 所以月收入在區(qū)間所以月收入在區(qū)間(2 500320,2 500320)內(nèi)取值的概率是內(nèi)取值的概率是 0997 4，該區(qū)間即，該區(qū)間即(2 440,2 560) 因此月收入在因此月收入在 2 440 元以下和元以下和 2 560 元以上的工人大約有元以上的工人大約有 1 200(10997 4)1 2000002 63(人人) 8已知某種零件的尺寸已知某種零件的尺寸 X(單位：?jiǎn)挝唬簃m)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，在在80，)上是減函數(shù)，且上是減函數(shù)，且 f(80)18 2 (1)求概率密度函數(shù)；求概率密度函數(shù)； (2)估計(jì)尺寸在估計(jì)尺寸在 72 88 mm 間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？ 解：解：(1)由于正態(tài)曲線在由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在80，)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線于直線 x80 對(duì)稱，且在對(duì)稱，且在 x80 處取得最大值，因此得處取得最大值，因此得 80， 因?yàn)橐驗(yàn)?218 2，所以，所以 8 故概率密度函數(shù)解析式是故概率密度函數(shù)解析式是 ，(x)18 2e x80 2128 (2)由由 80，8，得，得 80872， 80888， 零件尺寸零件尺寸 X 位于區(qū)間位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是 0682 6，因此尺寸在，因此尺寸在 7288 mm 間的零件間的零件大約占總數(shù)的大約占總數(shù)的 6826% (時(shí)間：時(shí)間：120 分鐘分鐘 滿分：滿分：150 分分) 一、選擇題一、選擇題(本大題共本大題共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1袋中有袋中有 2 個(gè)黑球個(gè)黑球 6 個(gè)紅球，個(gè)紅球， 從中任取兩個(gè)，從中任取兩個(gè)， 可以作為隨機(jī)變量的是可以作為隨機(jī)變量的是( ) A取到球的個(gè)數(shù)取到球的個(gè)數(shù) B取到紅球的個(gè)數(shù)取到紅球的個(gè)數(shù) C至少取到一個(gè)紅球至少取到一個(gè)紅球 D至少取得一個(gè)紅球的概率至少取得一個(gè)紅球的概率 解析：解析：選選 B 隨機(jī)變量是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量隨機(jī)變量是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量 ，只有，只有 B 滿足滿足 24 個(gè)高爾夫球中有個(gè)高爾夫球中有 3 個(gè)合格、個(gè)合格、1 個(gè)不合格，每次任取一個(gè)，不放回地取兩次若每個(gè)不合格，每次任取一個(gè)，不放回地取兩次若每一次取到合格的高爾夫球，則第二次取到合格高爾夫球的概率為一次取到合格的高爾夫球，則第二次取到合格高爾夫球的概率為( ) A12 B23 C34 D45 解析：解析：選選 B 法一：法一：記事件記事件 A第一次取到的是合格高爾夫球第一次取到的是合格高爾夫球，事件，事件 B第二次取第二次取到的是合格高爾夫球到的是合格高爾夫球 由題意可得由題意可得 P(AB)324312，P(A)334334， 所以所以 P(B|A)P AB P A 123423 法二：法二：記事件記事件 A第一次取到的是合格高爾夫球第一次取到的是合格高爾夫球， 事事件件 B第二次取到的是合格高爾夫球第二次取到的是合格高爾夫球 由題意可得事件由題意可得事件 B 發(fā)生所包含的基本事件數(shù)發(fā)生所包含的基本事件數(shù) n(AB)326， 事件， 事件 A 發(fā)生所包含的發(fā)生所包含的基本事件數(shù)基本事件數(shù) n(A)339， 所以所以 P(B|A)n AB n A 6923 3若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 B(n,06)，且，且 E()3，則，則 P(1)的值是的值是( ) A2044 B3044 C2045 D3064 解析：解析：選選 B B(n,06)，E()06n3，n5， P(1)C15 06 (106)43044，故選，故選 B 4 如果隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量 表示拋擲一個(gè)各面分別有表示拋擲一個(gè)各面分別有 1,2,3,4,5,6 的均勻的正方體向上面的數(shù)字，的均勻的正方體向上面的數(shù)字，那么隨機(jī)變量那么隨機(jī)變量 的均值為的均值為( ) A25 B3 C35 D4 解析：解析：選選 C P(k)16(k1,2,3，6)，E()11621661616(126)16 6 16 235 5若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是 10， 12，則該隨機(jī)，則該隨機(jī)變量的方差等于變量的方差等于( ) A10 B100 C2 D2 解析：解析： 選選 C 由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn)由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn) 10， 12知知1212， 即， 即 2， D(X)22 6已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(3,4)，則，則 E(21)與與 D(21)的值分別為的值分別為( ) A13,4 B13,8 C7,8 D7,16 解析：解析：選選 D 由已知由已知 E()3，D()4，得，得 E(21)2E()17，D(21)4D()16 7某人一周晚上值某人一周晚上值 2 次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概上值班的概率為率為_(kāi) 解析：解析：設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“周日值班周日值班”，事件，事件 B 為為“周六值班周六值班”，則，則 P(A)C16C27，P(AB)1C27，故故 P(B|A)P AB P A 16 答案：答案：16 8盒中有盒中有 10 只螺絲釘，其中有只螺絲釘，其中有 3 只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取 4 個(gè)，那么概率是個(gè)，那么概率是310的事件為的事件為( ) A恰有恰有 1 只是壞的只是壞的 B4 只全是好的只全是好的 C恰有恰有 2 只只是好的是好的 D至多有至多有 2 只是壞的只是壞的 解析：解析：選選 C Xk 表示取出的螺絲釘恰有表示取出的螺絲釘恰有 k 只為好的，則只為好的，則 P(Xk)Ck7C4k3C410(k1,2,3,4)P(X1)130，P(X2)310，P(X3)12，P(X4)16，故，故310表示恰好有表示恰好有 2 個(gè)個(gè)是好的是好的 9 設(shè) 設(shè) XN(， 2)， 當(dāng)， 當(dāng) x 在在(1,3內(nèi)取值的概率與在內(nèi)取值的概率與在(5,7內(nèi)取值的概內(nèi)取值的概率相等時(shí)，率相等時(shí)， ( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：選選 D 因?yàn)橐驗(yàn)?x 在在(1,3內(nèi)取值的概率與在內(nèi)取值的概率與在(5,7內(nèi)取值的概率相等，所以得正態(tài)分布內(nèi)取值的概率相等，所以得正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x4 對(duì)稱，結(jié)合正態(tài)分布的圖象，故對(duì)稱，結(jié)合正態(tài)分布的圖象，故 4 10某地區(qū)高二女生的體重某地區(qū)高二女生的體重 X(單位：?jiǎn)挝唬簁g)服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(50，25)，若該地區(qū)共有高二，若該地區(qū)共有高二女生女生 2 000 人，則體重在人，則體重在 50 kg65 kg 間的女生共有間的女生共有( ) A683 人人 B954 人人 C997 人人 D994 人人 解析：解析：選選 C 由題意知由題意知 50，5, P(5035X5035)0997 4P(50X65)120997 40498 7，體重在體重在 50 kg65 kg 的女生大約有：的女生大約有：2 0000498 5997(人人) 11一個(gè)電路如圖所示，一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn) 為為 6 個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率為個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率為12，且是相，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是互獨(dú)立的，則燈亮的概率是( ) A164 B5564 C18 D116 解析：解析：選選 B 設(shè)設(shè) A 與與 B 中至少有一個(gè)不閉合的事中至少有一個(gè)不閉合的事件為件為 T，E 與與 F 至少有一個(gè)不閉合的至少有一個(gè)不閉合的事件為事件為 R， 則， 則 P(T)P(R)1121234， 所以燈亮的概率為， 所以燈亮的概率為 P1P(T) P(R) P( C ) P( D )5564 12一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得 3 分的概率為分的概率為 a，得，得 2 分的概率為分的概率為 b，不得分的概率為，不得分的概率為c(a，b，c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為，已知他投籃一次得分的均值為 2(不計(jì)其他得分情況不計(jì)其他得分情況)，則，則 ab 的最大值為的最大值為( ) A148 B124 C112 D16 解析：解析：選選 D 由已知，得由已知，得 3a2b0 c2，得，得 3a2b2，所以，所以 ab163a2b16 3a2b2216 二、填空題二、填空題(本大題共本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上) 13某射手射擊所得環(huán)數(shù)某射手射擊所得環(huán)數(shù) 的分布列如下：的分布列如下： 7 8 9 10 P x 01 03 y 已知已知 的期望的期望 E()89，則，則 y 的值為的值為_(kāi) 解析：解析：由分布列可得由分布列可得 x06y 且且 7x082710y89，解得，解得 y04 答案：答案：04 14某處有供水龍頭某處有供水龍頭 5 個(gè)，調(diào)查表示每個(gè)水龍頭被打開(kāi)的可能性均為個(gè)，調(diào)查表示每個(gè)水龍頭被打開(kāi)的可能性均為110， 3 個(gè)水龍頭個(gè)水龍頭同時(shí)被打開(kāi)的概率為同時(shí)被打開(kāi)的概率為_(kāi) 解析：解析：對(duì)對(duì) 5 個(gè)水龍頭的處理可視為做個(gè)水龍頭的處理可視為做 5 次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有 2 種可能結(jié)果：打開(kāi)種可能結(jié)果：打開(kāi)或不打開(kāi)，相應(yīng)的概率為或不打開(kāi)，相應(yīng)的概率為 01 或或 10109，根據(jù)題意得，根據(jù)題意得 3 個(gè)水龍頭同時(shí)被打開(kāi)的概個(gè)水龍頭同時(shí)被打開(kāi)的概率為率為 C350130920008 1 答案：答案：0008 1 15一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得 50 元，生產(chǎn)一件乙等品可獲元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得得 30 元，生產(chǎn)一件次品，要賠元，生產(chǎn)一件次品，要賠 20 元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為分別為 06,03 和和 01，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利_元元 解析解析： 設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為： 設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為 X， 則隨機(jī)變量， 則隨機(jī)變量 X 的取值可以是的取值可以是20,30,50 依依題意，題意，X 的分布列為的分布列為 X 20 30 50 P 01 03 06 故故 E(X)20010330500637(元元) 答案：答案：37 16甲罐中有甲罐中有 5 個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 個(gè)白球和個(gè)白球和 3 個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)黑球，乙罐中有 4 個(gè)紅球，個(gè)紅球，3 個(gè)白球和個(gè)白球和 3 個(gè)黑個(gè)黑球先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以球先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以 A1，A2和和 A3表示由甲罐取出的球是紅球，表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是紅球的事件，表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是則下列結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) P(B)25；P(B|A1)511； 事件事件 B 與事件與事件 A1相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； A1，A2，A3是兩兩互是兩兩互斥的事件；斥的事件； P(B)的值不能確定，因?yàn)樗c的值不能確定，因?yàn)樗c A1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān) 解析：解析：從甲罐中取出一球放入乙罐，則從甲罐中取出一球放入乙罐，則 A1，A2，A3中任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，中任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即即 A1，A2，A3兩兩互斥，故兩兩互斥，故正確，易知正確，易知 P(A1)12，P(A2)15，P(A3)310，則，則 P(B|A1)511，P(B|A2)411， P(B|A3)411， 故， 故對(duì)對(duì)錯(cuò)；錯(cuò)； P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1) P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3) P(B|A3)1251115411310411922，故，故錯(cuò)誤綜上知，正確錯(cuò)誤綜上知，正確結(jié)論的序號(hào)為結(jié)論的序號(hào)為 答案：答案： 三、解答題三、解答題(本大題共本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算分，解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟步驟) 17(本小題滿分本小題滿分 10 分分)燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為 X(單位：小時(shí)單位：小時(shí))，已知，已知 XN(1 000,302)，要使燈泡的平均壽命為，要使燈泡的平均壽命為 1 000 小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為 9974%，問(wèn)燈泡的最低壽命應(yīng)控制，問(wèn)燈泡的最低壽命應(yīng)控制在多少小時(shí)以上？在多少小時(shí)以上？ 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?XN(1 000,302)， 所以所以 1 000，30 所以所以 P(1 000330X1 000330) P(9102)05； X1 對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1 分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過(guò)超過(guò) 1 分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 2 分鐘，分鐘， 所以所以 P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2) 010904049； X2 對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1 分鐘，分鐘， 所以所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0101001 所以所以 X 的分布列為的分布列為 X 0 1 2 P 05 049 001 E(X)00510492001051