2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值與方差 2.3. 2 離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差 A 級級 基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題一、選擇題 1已知隨機變量已知隨機變量 滿足滿足 P(1)0.3，P(2)0.7，則則 E()和和D()的值分別為的值分別為( ) A0.6 和和 0.7 B1.7 和和 0.09 C0.3 和和 0.7 D1.7 和和 0.21 解析：解析：E()10.320.71.7，D()(1.71)20.3(1.72)20.70.21. 答案：答案：D 2已知隨機變量已知隨機變量 XB(100，0.2)，那么那么 D(4X3)的值為的值為( ) A64 B256 C259 D320 解析：解析：由由 XB(100，0.2)知知 n100，p0.2，由公式得由公式得 D(X)1000.20.816，因此因此 D(4X3)42D(X)1616256. 答案：答案：B 3甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù) 、 的分布列如下表其中的分布列如下表其中射擊比較穩(wěn)定的運動員是射擊比較穩(wěn)定的運動員是( ) 環(huán)數(shù)環(huán)數(shù) k 8 9 10 P(k) 0.3 0.2 0.5 P(k) 0.2 0.4 0.4 A.甲甲 B乙乙 C一樣一樣 D無法比較無法比較 解析：解析：E()9.2，E()9.2，所以所以 E()E()，D()0.76，D()0.56D()，所以乙穩(wěn)定所以乙穩(wěn)定 答案：答案：B 4 已知隨機變量已知隨機變量 ，滿足滿足 8， 且且 服從二項分布服從二項分布 B(10，0.6)，則則 E()和和 D()的值分別是的值分別是( ) A6 和和 2.4 B2 和和 2.4 C2 和和 5.6 D6 和和 5.6 解析：解析：由已知由已知 E()100.66，D()100.60.42.4.因為因為8，所以所以 8. 所以所以 E()E()82，D()(1)2D()2.4. 答案：答案：B 5已知已知 p，qR，XB(5，p)若若 E(X)2，則則 D(2Xq)的值的值為為( ) A2.4 B4.8 C2.4q D4.8q 解析：解析：因為因為 XB(5，p)， 所以所以 E(X)5p2，所以所以 p25， D(X)5253565， 所以所以 D(2Xq)4D(X)4654.8，故選故選 B. 答案：答案：B 二、填空題二、填空題 6若事件在一次試驗若事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差等于中發(fā)生次數(shù)的方差等于 0.25，則該事件在則該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為一次試驗中發(fā)生的概率為_ 解析：解析：在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為 ，則則 服從兩點分布服從兩點分布，則則D()p(1p)，所以所以 p(1p)0.25，解得解得 p0.5. 答案：答案：0.5 7已知已知 X 的分布列為：的分布列為： X 1 0 1 P 12 13 16 若若 2X2，則則 D()的值為的值為_ 解析：解析：E(X)11201311613，D(X)59，D()D(2X2)4D(X)209. 答案：答案：209 8隨機變量隨機變量 X 的分布列如下表：的分布列如下表： X 0 1 2 P x y z 其中其中 x，y，z 成等差數(shù)列成等差數(shù)列，若若 E(X)13，則則 D(X)的值是的值是_ 解析：解析：E(X)0 x1y2zy2z13， 又又 xyz1，且且 2yxz，解得解得 x23，y13，z0，所以所以 D(X) 013223 113213 2132029. 答案：答案：29 三、解答題三、解答題 9袋中有大小袋中有大小相同的小球相同的小球 6 個個，其中紅球其中紅球 2 個、黃球個、黃球 4 個個，規(guī)規(guī)定取定取 1 個紅球得個紅球得 2 分分，1 個黃球得個黃球得 1 分從袋中任取分從袋中任取 3 個小球個小球，記所記所取取 3 個小球的得分之和為個小球的得分之和為 X，求隨機變量求隨機變量 X 的分布列、均值和方差的分布列、均值和方差 解：解：由題意可知由題意可知，X 的所有可能的取值為的所有可能的取值為 5，4，3. P(X5)C22C14C3615， P(X4)C12C24C3635， P(X3)C34C3615， 故故 X 的分布列為：的分布列為： X 5 4 3 P 15 35 15 E(X)5154353154， D(X)(54)215(44)235(34)21525. 10 每人在一輪投籃練習(xí)中最多可投籃每人在一輪投籃練習(xí)中最多可投籃 4 次次， 現(xiàn)規(guī)定一旦命中即現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)停止該輪練習(xí)， 否否則一直試投到則一直試投到 4 次為止 已知一選手的投籃命中率次為止 已知一選手的投籃命中率為為 0.7，求一輪練習(xí)中該選手的實際投籃次數(shù)求一輪練習(xí)中該選手的實際投籃次數(shù) 的分布列的分布列，并求出并求出 的期望的期望 E()與方差與方差 E() (保留保留 3 位有效數(shù)字位有效數(shù)字) 解：解： 的取值為的取值為 1，2，3，4.若若 1，表示第一次即投中表示第一次即投中，故故 P(1)0.7；若；若 2，表示第一次未投中表示第一次未投中，第二次投中第二次投中，故故 P(2)(10.7)0.70.21；若；若 3，表示第一、二次未投中表示第一、二次未投中，第三次投第三次投中中， 故故 P(3)(10.7)20.70.063； 若； 若 4， 表示前三表示前三次未投中次未投中，故故 P(4)(10.7)30.027. 因此因此 的分布列為：的分布列為： 1 2 3 4 P 0.7 0.21 0.063 0.027 E()10.720.2130.06340.0271.417. D()(11.417)20.7(21.417)20.21(31.417)20. 063(41.417)20.0270.513. B 級級 能力提升能力提升 1若若 是離散型隨機變量是離散型隨機變量，P(X1)23，P(X2)13，且且 X1X2，又已知又已知 E()43，D()29，則則 X1X2的值為的值為( ) A.53 B.73 C3 D.113 解析：解析：X1，X2滿足滿足 23X113X243， X143223 X24321329， 解得解得 X11，X22或或 X153，X223. 因為因為 X1X2，所以所以 X11，X22，所以所以 X1X23. 答案：答案：C 2拋擲一枚均勻硬幣拋擲一枚均勻硬幣 n(3n8)次次，正面向上的次數(shù)正面向上的次數(shù) 服從二服從二項分布項分布 B n，12，若若 P(1)332，則方差則方差 D()_ 解析：解析： 因為因為 3n8，服從二項分布服從二項分布 B n，12， 且且 P(1)332，所以所以 C1n 12n1 112332，即即 n 12n664，解得解得 n6，所以方差所以方差D()np(1p)612 11232. 答案：答案：32 3一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量繪制了日銷售量的頻率分布直方圖的頻率分布直方圖，如圖所示如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率將日銷售量落入各組的頻率視為概率， 并假設(shè)每天的銷售量相互并假設(shè)每天的銷售量相互獨立獨立 (1)求在未來連續(xù)求在未來連續(xù) 3 天里天里，有連續(xù)有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于天的日銷售量都不低于 100個且另個且另 1 天的日銷售量低于天的日銷售量低于 50 個個的概率；的概率； (2)用用 X 表示在未來表示在未來 3 天里日銷售量不低于天里日銷售量不低于 100 個的天數(shù)個的天數(shù)，求隨求隨機變量機變量 X 的分布列、期望的分布列、期望 E(X)及方差及方差 D(X) 解：解：(1)設(shè)設(shè) A1表示事件表示事件“日銷售量不低于日銷售量不低于 100 個個”，A2表示事件表示事件“日銷售量低于日銷售量低于 50 個個”，B 表示事件表示事件“在未來連續(xù)在未來連續(xù) 3 天里有連續(xù)天里有連續(xù) 2天的日銷售量不低于天的日銷售量不低于 100 個且另個且另 1 天的日銷售量低于天的日銷售量低于 50 個個”因此因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X 可能取的值為可能取的值為 0，1，2，3，相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為 P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216， 則則 X 的分布列為：的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為因為 XB(3，0.6)，所以期望所以期望 E(X)30.61.8，方差方差 D(X)30.6(10.6)0.72.